![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
On calcule successivement :
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Fonction de calcul de écrite en Python 3 :
def binomial (n, k):
c = 1;
for j in range (k):
c = (c * (n-j)) // (j+1)
return c
Un exemple :
>>> binomial (15, 4)
1365
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
En remplaçant par
dans la formule du pion :
Ceci montre que :
Comme , on conclut avec le théorème de Gauss que :
Remarque
L’entier est appelé le n-ème coefficient binomial central.
Quant au rationnel :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
D’après la formule du binôme :
Autrement dit :
Remarque
Il faut bien voir ici le rôle de l’hypothèse . En effet :
.
Passons à une interprétation combinatoire de la formule encadrée. Etant donnés un ensemble E de cardinal n et un entier , il existe
parties de E de cardinal k.
Le nombre de parties de E de cardinal pair est :
Or, si l’on note (resp.
) l’ensemble des parties de cardinal pair (resp. impair) de E, et si l’on choisit un élément
(ce qui est possible puisque
), alors l’application :
Détail (cliquer pour déplier / replier)
Il suffit, pour justifier le caractère bijectif de , de considérer l’application
et d’observer que
La première de ces deux relations entraîne la surjectivité de , tandis que la seconde entraîne son injectivité.
Il s’ensuit que , c’est-à-dire
. D’après les formules
et
, on voit maintenant que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
On sait (voir par exemple cet article) que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Après quelques calculs préalables (pour puis
: voir les indications), on peut conjecturer la formule suivante, valable pour tout entier
toute application
et tout
:
Il est nettement plus judicieux de déduire cette formule de celle du binôme, appliquée dans l’anneau des endomorphismes de
Pour cela, considérons :
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4b0c9cb2845ee5f3a5e6bd2f3d0d618_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com B](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01939be7ab289b87d36819d286094b9a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}^{\mathbb{R}})](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ad8fc9f2957c28eab3659d15dda6375f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com F=A+B](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0df6390b248425f15b6da440df20bba9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40c78fca23fcd2c6858fe61d5e522aaa_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Considérons un ensemble de cardinal
et formons une partition de
en trois sous-ensembles
et
chacun de cardinal
Toute partie
de
de cardinal
est l’union (disjointe) de ses intersections
et
avec
et
respectivement.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2020/06/c-cp-26-fig-1.png)
Posons :
![Rendered by QuickLaTeX.com \varphi^{-1}\left(A,B,C\right)=A\cup B\cup C).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd12f070724ac948f8f20c647c43f491_l3.png)
Il en résulte :
Remarque
Un point de vue équivalent, quoique plus « algébrique », consiste à calculer de deux façons le coefficient de dans
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Fixons et montrons de deux manières que, pour tout
:
Solution 1 : par récurrence (cliquer pour déplier / replier)
Pour les deux membres valent 1 par définition. Supposons l’égalité vraie pour un certain
Alors :
En écrivant artificiellement :
il vient :
En posant
![Rendered by QuickLaTeX.com j=k+1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ffb5729d8cecfe5167c24dbd3cadb7c8_l3.png)
On isole alors le terme d’indice
![Rendered by QuickLaTeX.com j=n+1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d09cc0ee2f729490bdff26c45311a763_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k=0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-305b3f31d5e8a417854acf2c30d8d104_l3.png)
Finalement, d’après la formule de Pascal :
comme souhaité.
Solution 2 : via le lemme énoncé en fin de cet article (cliquer pour déplier / replier)
Posons, pour tout :
où
![Rendered by QuickLaTeX.com t\in\mathbb{R}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34776f31b4d452703622170f28a47478_l3.png)
Notons
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96ad95c746b4f9879379df16f5f1b064_l3.png)
et donc :
Il reste à simplifier pour conclure que :
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
On sait que :
![Rendered by QuickLaTeX.com i](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f99161951e0e96eed63c91c940cb165e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \llbracket0,p-1\rrbracket](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3346f69e23b03d93b7b1e7e54bce6d1f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p\mid n-i.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6accc51f558a78bb19678be5d759051c_l3.png)
On voit que :
Posons :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\star\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d928fdc3003a591d91c4792b57b630c9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(p-1\right)!](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fef1cd0dfc8196e0c40a598759d61ef1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4b0c9cb2845ee5f3a5e6bd2f3d0d618_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37bf234dbcab0d8f3a22e65eea484eb8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p-](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e9d65fc8c220ea76bb2663a1e3582ee_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \binom{n}{p}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-74349f6edfb68da94e2aac53c229bfe1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-012be0fd750bd9f4d66eea79d5ff1edc_l3.png)
Remarque
Cette question a fait l’objet du challenge n° 30.
Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.