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exercice 1 facile

Factoriser l’expression a^{4}+4b^{4}. Prouver alors que l’entier 125^{4}+4^{5} est composé.

exercice 2 facile

Montrer que pour tout nombre premier p\geqslant5, l’entier p^{2}-1 est multiple de 24.

exercice 3 facile

Quels sont les palindromes premiers possédant un nombre pair de chiffres décimaux ?

Montrer que si :

    \[ p=3\times2^{n-1}-1 \]

    \[ q=3\times2^{n}-1 \]

    \[ r=9\times2^{2n-1}-1 \]

sont premiers, alors a=2^{n}pq et b=2^{n}r sont amicaux (c’est-à-dire que la somme des diviseurs stricts de chacun d’eux est égale à l’autre).

Soient a,b,c\in\mathbb{N}^{\star} tels que a+b+c+ab+bc+ca+abc=1000. Calculer a+b+c.

Montrer que si 2^{p}-1 est premier, alors p est premier.

Déterminer les couples \left(n,k\right)\in\mathbb{N}^{2} pour lesquels \binom{n}{k} est un nombre premier.

Démontrer que si p est premier et si 1\leqslant k\leqslant p-1, alors \binom{p}{k} est multiple de p.

En déduire le “petit théorème de Fermat” : si p est premier, alors n^{p}-n est multiple de p, pour tout n\in\mathbb{N}.

exercice 9 difficile

Mêmes notations qu’à l’exercice précédent. Simplifier l’expression \prod_{k=0}^{n-1}F_{k} (pour n\geqslant1). En déduire que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux.

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