Exercices sur les nombres premiers – 01

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Neuf énoncés d’exercices sur la notion de nombre premier (fiche 01).

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exercice 1 facile

Factoriser l’expression a^{4}+4b^{4}.

Prouver alors que l’entier 125^{4}+4^{5} est composé.

exercice 2 facile

Montrer que pour tout nombre premier p\geqslant5, l’entier p^{2}-1 est multiple de 24.

exercice 3 facile

Quels sont les palindromes premiers possédant un nombre pair de chiffres décimaux ?

Deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 sont dits « amicaux » si chacun d’eux est égal à la somme des diviseurs stricts de l’autre. C’est par exemple le cas de 220 et 284; en effet, les diviseurs stricts de 220 sont :

    \[1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110\]

ceux de 284 sont :

    \[1, 2, 4, 71, 142\]

et l’on constate que :

    \[1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110=284\]

tandis que :

    \[1 + 2 + 4 + 71 + 142=220\]

Montrer que si

    \begin{eqnarray*} p & = & 3\times2^{n-1}-1\\ q & = & 3\times2^{n}-1\\ r & = & 9\times2^{2n-1}-1 \end{eqnarray*}

sont premiers, alors

    \[a=2^{n}pq\qquad\text{et}\qquad b=2^{n}r\]

sont amicaux.

Soient a,b,c\in\mathbb{N}^{\star} tels que a+b+c+ab+bc+ca+abc=1000.

Calculer a+b+c.

Montrer que si 2^{p}-1 est premier, alors p est premier.

Déterminer les couples \left(n,k\right)\in\mathbb{N}^{2} pour lesquels \displaystyle{\binom{n}{k}} est un nombre premier.

Démontrer que si p est premier et si 1\leqslant k\leqslant p-1, alors \displaystyle{\binom{p}{k}} est multiple de p.

En déduire le « petit théorème de Fermat » :

Si p est premier, alors n^{p}-n est multiple de p, pour tout n\in\mathbb{N}.

exercice 9 difficile

Pour tout n\in\mathbb{N}, on note F_{n}=2^{2^{n}}+1. L’entier F_{n} est appelé le n-ème nombre de Fermat.

Simplifier, pour tout n\geqslant 1, l’expression \displaystyle{\prod_{k=0}^{n-1}F_{k}}. En déduire que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux.

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