Neuf énoncés d’exercices sur les séries numériques (fiche 03).
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
On considère deux séries complexes : est absolument convergente et
est semi-convergente. Prouver que, pour tout
la série
est convergente.
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Calculer, pour tout :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Préciser la nature de la série de terme général :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
On pose, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com \sum u_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b5a9cc2bb96441553d8d40141deba6fe_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Etudier, en fonction du couple la nature de la série :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Prouver que si et
alors la série
est semi-convergente.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-7-small.png)
On considère une série complexe convergente Etudier la nature de la série
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
On pose, pour tout :
- Montrer que la suite
est convergente et préciser sa limite. On pose désormais :
- Montrer que :
- Montrer que la série
est convergente.
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Soient et
deux séries complexes. On suppose que la première est absolument convergente et que la seconde est semi-convergente. Montrer que leur produit de Cauchy converge et préciser sa somme.
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