Exercices sur les séries numériques – 03

Neuf énoncés d’exercices sur les séries numériques (fiche 03).

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exercice 1 facile

On considère deux séries complexes : \sum_{n\geqslant0}a_{n} est absolument convergente et \sum_{n\geqslant0}b_{n} est semi-convergente. Prouver que, pour tout p\in\mathbb{N}, la série \sum_{n\geqslant0}a_{n}\left(b_{n}\right)^{p} est convergente.

exercice 2 facile

Calculer, pour tout p\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[S_{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(n+p\right)}\]

Préciser la nature de la série de terme général :

    \[u_{n}=\int_{0}^{1}\frac{t^{n}}{1+t^{n}}\thinspace dt\]

On pose, pour tout n\geqslant1 :

    \[u_{n}=\left\{ \begin{array}{cc}\displaystyle{\frac{1}{n}} & \text{si }n\text{ est un carré}\\\\\displaystyle{\frac{1}{n^{2}}} & \text{sinon}\end{array}\right.\]

Montrer que la série \sum u_{n} converge et calculer sa somme.

Etudier, en fonction du couple \left(\alpha,\beta\right)\in\mathbb{R}^{2}, la nature de la série :

    \[\sum_{n\geqslant2}\frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}\left(n\right)}\]

Prouver que si \theta\in\mathbb{R}-\pi\mathbb{Z} et s\in\left]0,1\right], alors la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\frac{\sin\left(n\theta\right)}{n^{s}}} est semi-convergente.

On considère une série complexe convergente {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}u_{n}.} Etudier la nature de la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\frac{u_{n}}{n}}.

On pose, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\]

  1. Montrer que la suite S est convergente et préciser sa limite. On pose désormais :

        \[R_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}\]

  2. Montrer que :

        \[\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\frac{1}{\left(n+1\right)!}\leqslant R_{n}\leqslant\frac{1}{n\thinspace n!}\]

  3. Montrer que la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}\sin\left(\pi en!\right)} est convergente.
exercice 9 difficile

Soient \sum_{n\geqslant0}a_{n} et \sum_{n\geqslant0}b_{n} deux séries complexes. On suppose que la première est absolument convergente et que la seconde est semi-convergente. Montrer que leur produit de Cauchy converge et préciser sa somme.

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