Exercices sur la récurrence – 02

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exercice 1 facile

On pose, pour tout x\geqslant0 :

    \[f\left(x\right)=\frac{1}{1+x}\]

On désigne par f^{n} la n-ème itérée de f, qui est définie comme suit, par récurrence.

Pour tout x\geqslant0 :

    \[f^{0}\left(x\right)=x\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace f^{n+1}\left(x\right)=f\left(f^{n}\left(x\right)\right)\]

Conjecturer, puis démontrer par récurrence, une formule générale.

exercice 2 facile

Montrer que, pour tout x\in\mathbb{R} et tout n\in\mathbb{N} :

    \[\left|\sin\left(nx\right)\right|\leqslant n\left|\sin\left(x\right)\right|\]

exercice 3 facile

Si E est un ensemble, on note \mathcal{P}\left(E\right) l’ensemble de ses parties.

Pour tout X\in\mathcal{P}\left(\llbracket1,n\rrbracket\right)-\left\{ \emptyset\right\} , on pose :

    \[f\left(X\right)=\prod_{x\in X}x\]

Calculer, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[S_{n}=\sum_{X\in\mathcal{P}\left(\llbracket1,n\rrbracket\right)-\left\{ \emptyset\right\} }\frac{1}{f\left(X\right)}\]

S_{n} est la somme des inverses des produits des éléments des diverses parties non vides de \llbracket1,n\rrbracket.

Montrer que, pour tout p\in\mathbb{N}, il existe une unique fonction polynomiale de degré p+1 telle que :

    \[\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\sum_{k=1}^{n}k^{p}=S_{p}\left(n\right)\]

Expliciter S_{5}.

Démontrer par récurrence l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

    \[\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leqslant\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)\]

pour tout entier n\geqslant2 et tous n-uplets \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right) et \left(y_{1},\cdots,y_{n}\right) de réels.

Soit I un intervalle de \mathbb{R} (ni vide, ni réduit à un singleton) et soit f:I\rightarrow\mathbb{R} une application.

On suppose que f est convexe, c’est-à-dire :

    \[f\left(\left(1-t\right)x+ty\right)\leqslant\left(1- t\right)f\left(x\right)+t\thinspace f\left(y\right)\]

pour tout t\in[0,1] et tout couple (x,y) d’éléments de I.

On note, pour tout entier n\geqslant2 :

    \[\Delta_{n}=\left\{ \left(t_{1},\cdots,t_{n}\right)\in\left[0,+\infty\right[^{n};\thinspace\sum_{i=1}^{n}t_{i}=1\right\}\]

Etablir l’inégalité de Jensen discrète :

    \[f\left(\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)\leqslant\sum_{i=1}^{n}t_{i}\thinspace f\left(x_{i}\right)\]

valable pour tout entier n\geqslant2, tout \left(t_{1},\cdots,t_{n}\right)\in\Delta_{n} et tout \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in I^{n}.

Soit E un espace vectoriel sur le corps \mathbb{K}. Etant donné un endomorphisme u\in\mathcal{L}\left(E\right) (c’est-à-dire une application linéaire de E dans E), on appelle vecteur propre pour u tout vecteur x\in E, non nul et tel qu’il existe un scalaire \lambda\in\mathbb{K} vérifiant u\left(x\right)=\lambda x. Le scalaire \lambda est alors unique : on l’appelle la valeur propre associée à x (pour l’endomorphisme u).

Un vecteur propre pour u est donc un vecteur x\neq0_E tel que la famille \left(x,\thinspace u\left(x\right)\right) est liée.

Montrer par récurrence que si \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right) est une famille de vecteurs propres pour u, associés à des valeurs propres toutes distinctes, alors cette famille est libre.

Soit E un espace vectoriel. Montrer que pour tout entier n\geqslant1, si \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right) est une famille quelconque de vecteurs de E et si pour chaque i\in\llbracket1,n\rrbracket} , le vecteur y_{i} est combinaison linéaire des vecteurs x_{1},\cdots,x_{n} alors la famille \left(y_{1},\cdots,y_{n+1}\right) est liée.

exercice 9 difficile

On se propose d’établir l’inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique, à savoir :

    \[\left(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}\leqslant\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\]

pour tout entier n\geqslant2 et tout n-uplet \left(x_1,\ldots,x_n\right) de réels strictement positifs.

On va procéder par une récurrence directe (par contraste avec la preuve de Cauchy, qui repose sur une récurrence “à l’envers”).

1) Etablir l’inégalité au rang n=2, afin d’initialiser la récurrence.
2) On suppose l’inégalité vraie au rang n, pour un certain n\geqslant2. Soient alors x_{1},\cdots,x_{n+1}>0 et soit A leur moyenne arithmétique :

    \[A=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}\]

a) Que peut-on dire si x_{i}=A pour tout i\in\llbracket1,n\rrbracket ?

b) On suppose désormais le contraire. Montrer qu’il existe des indices i,j tels que :

    \[1\leqslant i,j\leqslant n+1\quad\text{et}\quad\left\{ \begin{array}{ccc}x_{i} & < & A\\ x_{j} & > & A\end{array}\right.\]

c) Vérifier que :

    \[A\left(x_{i}+x_{j}-A\right)>x_{i}x_{j}\]

d) Conclure quant à l’hérédité, en appliquant l’hypothèse de récurrence à la liste de n réels strictement positifs obtenue à partir de \left(x_{1},\cdots,x_{n+1}\right) en retirant x_{i} et x_{j} en insérant x_{i}+x_{j}-A (qui est strictement positif d’après le point précédent).


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