Exercices sur les applications – 01

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exercice 1 facile

Chacun des dessins ci-dessous représente une correspondance. Expliquer, dans chaque cas, s’il s’agit d’une application et – le cas échéant – d’une injection, d’une surjection, voire d’une bijection :

exercice 2 facile

Préciser, pour chaque application, si elle est injective (ou non), surjective (ou non) :

    \begin{eqnarray*}f: & \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}, & n \mapsto 3n-2\\g: & \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, & n \mapsto n+\left(-1\right)^{n}\\h: & \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}, & n \mapsto n^{2}-n\end{eqnarray*}

Comparer avec l’exercice suivant.

exercice 3 facile

Pour chacune des applications suivantes, préciser s’il s’agit d’une injection (ou non), d’une surjection (ou non) :

    \begin{eqnarray*}u: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , & x \mapsto 3x-2\\v: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , & x \mapsto x+\cos\left(\pi x\right)\\w: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , & x \mapsto x^{2}-x\end{eqnarray*}

Comparer avec l’exercice précédent.

Montrer que l’application

    \[Q:\mathbb{R}\rightarrow\left]0,+\infty\right[,\thinspace x\mapsto x+\sqrt{x^{2}+1}\]


est une bijection et déterminer sa réciproque. En déduire que l’application

    \[\text{A}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto \ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\]


est aussi une bijection. Quelle est sa réciproque ?

Proposer un exemple d’application de \mathbb{R} dans \mathbb{R} qui soit injective et non surjective. Proposer aussi un exemple d’application de \mathbb{R} dans \mathbb{R} qui soit surjective et non injective.

Donner un exemple d’application périodique et surjective de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.

Trouver deux applications u,v:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} injectives telles que \forall x\in\mathbb{R},\thinspace u\left(x\right)+v\left(x\right)=x^{2}.

«Une application injective f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} est nécessairement strictement monotone» : Vrai ou Faux ?

exercice 9 difficile

Soit E un ensemble non vide et soit f:E\rightarrow E une application.

Pour tout n\in\mathbb{N}, on note f^{n} la n-ème itérée de f.

On rappelle la…

Définition

    \[f^{0}=id_{E}\]

et

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace f^{n+1}=f\circ f^{n}\]

Montrer que si

    \[\forall x\in E,\,\exists n\in\mathbb{N}^{\star};\,f^{n}\left(x\right)=x\]


alors f est une bijection.


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