Solutions détaillées de neuf exercices sur la notion d’application (fiche 01).
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• n’est pas une application car
possède deux images.
• est une application surjective (tous les éléments de l’ensemble d’arrivée sont atteints) mais non injective (un élément est atteint plus d’une fois).
• est une application injective (aucun élément n’est atteint plus d’une fois) mais non surjective (un élément n’est pas atteint).
• n’est pas une application car
n’a pas d’image (mais c’est une fonction, dont l’ensemble de définition est
.
• est une application injective et surjective, autrement dit une bijection.
• est une application qui n’est ni injective (
possède deux antécédents) ni surjective(
n’en admet aucun).

• est une application car tout entier naturel non nul
possède une image et une seule dans
(en effet
). Elle est injective car si
vérifient
, alors
. Elle n’est pas surjective car
n’admet pas d’antécédent.
• Pour tout :
car les entiers



• est un application non surjective puisque, pour tout
, l’entier
est pair (et les entiers naturels impairs ne sont donc pas atteints par
). Elle est cependant injective puisque, si
sont tels que
, alors
d’où
ou
, mais l’égalité
est impossible puisque dans ce contexte
.

• est une bijection, car tout réel
possède un unique antécédent par
, à savoir
.
• est surjective. En effet, d’après la relation
, on voit que
et d’après la relation
, on voit que
; en outre
est continue et donc d’après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout réel possède au moins un antécédent par
. En revanche,
n’est pas injective. En effet, on constate que
,
et
; il en résulte (toujours d’après le théorème des valeurs intermédiaires) l’existence de réels
et
tels que
.
• n’est ni injective ni surjective. En effet
(d’où la non surjectivité) et
(d’où la non surjectivité : les réels strictement supérieurs à
ne possède pas d’antécédent par
).
On observe, en comparant cet exercice au précédent, que le fait d’avoir modifié les ensembles de départ et d’arrivée, tout en conservant la même « formule » pour calculer l’image d’un élément, a modifié les caractéristiques des applications :
→ était injective et non surjective, tandis que
est bijective.
→ était bijective, tandis que
est surjective et non injective.
→ était injective et non surjective, tandis que
n’est ni injective ni surjective.

Etant donné , résolvons dans
l’équation
, c’est-à-dire
.
Pour , une telle égalité est impossible. Et pour
, elle équivaut à
, c’est-à-dire à
ou encore
.
Comme cette dernière valeur est strictement inférieure à , on conclut que tout
possède par
un unique antécédent. Ainsi
est une bijection et sa réciproque est :
Comme l’application est une bijection et vu que
, on constate que
est aussi une bijection (composée de deux bijections) et que
, c’est-à-dire :
Remarque : est la fonction sinus hyperbolique et
est la fonction Argsh (argument sinus hyperbolique).

L’application est strictement monotone donc injective. Mais elle n’est pas surjective puisque les réels négatifs ou nuls ne sont pas atteints.
L’application n’est pas injective puisque
. Elle est surjective car pour tout
:

L’application
est périodique et surjective (sa restriction à l’intervalle
l’est déjà).
On peut aussi proposer l’application

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Considérons les applications définies par :
Elles sont strictement monotones, donc injectives, et vérifient .

C’est faux, comme le montre l’exemple suivant :

Surjectivité
Soit . Si
est tel que
, alors
est un antécédent de
par
.
Injectivité
Soient tels que :



En appliquant à chaque membre de
, il vient







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