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Cette fiche regroupe 24 intégrales à calculer. Certaines d’entre-elles s’obtiennent de façon directe, alors que d’autres nécessitent une intégration par parties (l’intégration par changement de variable sera abordée dans une autre fiche). Le calcul d’intégrales fait partie de ces techniques de base auxquelles il faut s’entraîner beaucoup avant d’acquérir une maîtrise suffisante.

Comme l’a si bien écrit Georges Brassens : “sans technique, un don n’est rien qu’une sale manie”.

 

Calculer chacune des huit intégrales suivantes :

    \begin{eqnarray*} A & = & {\displaystyle \int_{0}^{1}\left(t^{3}-2t\right)\thinspace dt}\\ B & = & {\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(t^{3}+t\right)^{17}\thinspace dt}\\ C & = & {\displaystyle \int_{0}^{1}\left(t^{2}+1\right)^{3}\thinspace dt}\\ D & = & {\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{2}{t+3}-\frac{1}{2t+1}\right)\thinspace dt}\\ E & = & {\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\left(t+1\right)\left(t+2\right)}\thinspace dt}\\ F & = & {\displaystyle \int_{0}^{2}\left(\frac{1}{\left(t+1\right)^{2}}-\frac{2}{\left(t+1\right)^{3}}\right)\thinspace dt}\\ G & = & {\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{t}{1+t^{2}}\thinspace dt}\\ H & = & {\displaystyle \int_{0}^{1}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{2}\frac{1}{t^{2}}\thinspace dt} \end{eqnarray*}

 

Calculer chacune des huit intégrales suivantes :

    \begin{eqnarray*} A & = & {\displaystyle \int_{0}^{1}\left(2t-3\right)e^{-t/2}\thinspace dt}\\ B & = & \int_{0}^{1}t\thinspace e^{t^{2}}\thinspace dt\\ C & = & {\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{e^{t}+1}\thinspace dt}\\ D & = & \int_{-1}^{1}\left(1+e^{t}\right)^{3}e^{t}\thinspace dt\\ E & = & {\displaystyle \int_{1}^{e}t\ln\left(t\right)\thinspace dt}\\ F & = & {\displaystyle \int_{1}^{2}\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)\,dt}\\ G & = & {\displaystyle \int_{1}^{e}t^{2}\ln^{3}\left(t\right)\,dt}\\ H & = & {\displaystyle \int_{0}^{1}t^{3}e^{t^{2}}\thinspace dt} \end{eqnarray*}

 

Calculer chacune des huit intégrales suivantes :

    \begin{eqnarray*} A & = & {\displaystyle \int_{0}^{\pi/6}\cos\left(2t\right)\thinspace dt}\\ B & = & {\displaystyle \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{\cos\left(t\right)}{\sin\left(t\right)}\thinspace dt}\\ C & = & {\displaystyle \int_{0}^{\pi}t\cos\left(t\right)\thinspace dt}\\ D & = & {\displaystyle \int_{0}^{\pi}t^{2}\sin\left(t\right)\thinspace dt}\\ E & = & {\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{\cos\left(t\right)}{\sqrt{3+\sin\left(t\right)}}\thinspace dt}\\ F & = & {\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\left(1+\sin^{2}\left(t\right)\right)^{2}\sin\left(2t\right)\thinspace dt}\\ G & = & {\displaystyle \int_{\pi/6}^{5\pi/6}\frac{\cos\left(t\right)}{\sin^{2}\left(t\right)}\thinspace dt}\\ H & = & {\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin\left(t\right)}{\sin\left(t\right)+\cos\left(t\right)}\thinspace dt} \end{eqnarray*}

 


 

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