Neuf énoncés d’exercices sur les calculs de sommes (fiche 03).
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Soit une suite arithmétique de raison
.
Montrer que si sont tels que
, alors :
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Calculer :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Soient une suite de nombres réels et
une suite de nombres complexes.
On pose pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}t_{k}z_{k}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75318ffb8d5ac280d470b58653ccbedb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t_1,\ldots,t_n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd1e744c7fe1bd5520c7f40eddb2b81a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com S_1,\ldots,S_n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7edde72fb3556dfe644c87d4b8da59d_l3.png)
En déduire que si la suite décroît et converge vers 0 et si de plus la suite
est bornée, alors la série
converge.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Etant donnés et
calculer explicitement la somme :
Retrouver ce résultat en examinant l’expression et en faisant apparaître une sommation télescopique.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Calculer plus simplement , pour tout entier :
On tâchera de privilégier un point de vue combinatoire.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Etant donné et
on considère la matrice
Calculer ainsi que
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
On pose, pour tout entier :
![Rendered by QuickLaTeX.com u_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61d794638120c1f74f2fb1f6e42e32d7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \sum_{n\geqslant2}u_{n}.}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6bac933c4140444dae38d928b4ac3d8_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
On pose pour tout entier :
![Rendered by QuickLaTeX.com p_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eeee87c474334066f05ad642c851e442_l3.png)
En déduire le calcul de l’intégrale impropre après avoir justifié sa convergence.
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Montrer que pour tout et pour tout
:
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