Neuf énoncés d’exercices sur le raisonnement par récurrence (fiche 01).
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Montrer par récurrence que est divisible par
quel que soit l’entier
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Prouver par récurrence l’inégalité de Bernoulli :
Pour tout entier et pour tout
:
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-3-small.png)
désigne le
ème nombre de Fibonacci. On rappelle que :
Montrer que, pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant11](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-706e7293f818c44366db6b07ea892812_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Etablir la majoration :
En déduire, en raisonnant par récurrence, que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Soit et soient
Etablir, au moyen d’une récurrence, que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Montrer que, pour tout il existe un unique polynôme
à coefficients entiers tel que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-7-small.png)
On pose, pour tout :
Calculer pour
et reporter les résultats dans un tableau.
Démontrer par récurrence la propriété suivante :
Vérifier que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Soit de classe
Montrer que pour tout la dérivée
ème de
est donnée par :
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Considérons un entier naturel non nul, par exemple La liste de ses diviseurs est :
Formuler un énoncé général, puis le démontrer.
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