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Solution pour le challenge 65


Notons O le centre de \Gamma.

S’il existe deux points distincts B,C\in\Gamma tels que H soit l’orthocentre de ABC, alors en notant G l’isobarycentre :

  • B et C appartiennent à une perpendiculaire à \left(AH\right),
  • le milieu A' de \left[B,C\right] vérifie \overrightarrow{GA'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA},
  • les points O, G et H vérifient : \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}.

On commence donc par construire le point G tel que \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}, puis le point A' tel que \overrightarrow{GA'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}.

Si la perpendiculaire \Delta à \left(AH\right) passant par A' ne coupe pas \Gamma ou bien est tangente à \Gamma, alors il
n’existe pas de solution.

Sinon, on note \left\{ B,C\right\} =\Gamma\cap\Delta et l’on prouve que H est bien l’orthocentre de \left(A,B,C\right). Pour cela, on observe que :

    \begin{eqnarray*}3\overrightarrow{OA'} & = & 3\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA'}\right)\\ & = & \overrightarrow{OH}+\overrightarrow{AA'}\\ & = & \overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA} \end{eqnarray*}

d’où :

(\star)   \[2\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{AH}}}\]

ce qui prouve que \left(OA'\right)\parallel\left(AH\right) et donc \left(OA'\right)\bot\left(BC\right). Une droite perpendiculaire à une corde (en l’occurrence la corde \left[BC\right]) et passant par O est la médiatrice de cette corde. Donc A' est le milieu de \left[BC\right]. Du coup, comme \overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GA'}, alors G est l’isobarycentre de \left(A,B,C\right) et enfin, comme \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}, alors H est l’orthocentre de ce triangle, comme souhaité.

Ajoutons que, A et \Gamma étant donnés, les points H qui rendent la construction possible sont ceux pour lesquels A' est le milieu d’une corde. Or ceci revient à dire que A' est intérieur à \Gamma, ou encore (d’après \left(\star\right) et en notant r le rayon de \Gamma) que AH<2r.

Le point H doit donc appartenir au disque ouvert de centre A et de rayon 2r.

Illustration dynamique

Données initiales : le cercle \Gamma et son centre O, ainsi que les points A et H.

Les deux boutons permettent d’avancer ou de reculer d’une étape dans la construction.

En approchant le curseur suffisamment près de O, de A ou de H, un petit cercle apparaît, montrant que le point est devenu actif. On peut alors le déplacer en maintenant la touche SHIFT enfoncée et en déplaçant le curseur.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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