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Solution pour le challenge 65

Notons O le centre de \Gamma.

S’il existe deux points distincts B,C\in\Gamma tels que H soit l’orthocentre de ABC, alors en notant G l’isobarycentre :

  • B et C appartiennent à une perpendiculaire à \left(AH\right),
  • le milieu A' de \left[B,C\right] vérifie \overrightarrow{GA'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA},
  • les points O, G et H vérifient : \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}.

On commence donc par construire le point G tel que \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}, puis le point A' tel que \overrightarrow{GA'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}.

Si la perpendiculaire \Delta à \left(AH\right) passant par A' ne coupe pas \Gamma ou bien est tangente à \Gamma, alors il
n’existe pas de solution.

Sinon, on note \left\{ B,C\right\} =\Gamma\cap\Delta et l’on prouve que H est bien l’orthocentre de \left(A,B,C\right). Pour cela, on observe que :

    \begin{eqnarray*}3\overrightarrow{OA'} & = & 3\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA'}\right)\\ & = & \overrightarrow{OH}+\overrightarrow{AA'}\\ & = & \overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA} \end{eqnarray*}

d’où :

(\star)   \[2\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{AH}}}\]

ce qui prouve que \left(OA'\right)\parallel\left(AH\right) et donc \left(OA'\right)\bot\left(BC\right). Une droite perpendiculaire à une corde (en l’occurrence la corde \left[BC\right]) et passant par O est la médiatrice de cette corde. Donc A' est le milieu de \left[BC\right]. Du coup, comme \overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GA'}, alors G est l’isobarycentre de \left(A,B,C\right) et enfin, comme \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}, alors H est l’orthocentre de ce triangle, comme souhaité.

Ajoutons que, A et \Gamma étant donnés, les points H qui rendent la construction possible sont ceux pour lesquels A' est le milieu d’une corde. Or ceci revient à dire que A' est intérieur à \Gamma, ou encore (d’après \left(\star\right) et en notant r le rayon de \Gamma) que AH<2r.

Le point H doit donc appartenir au disque ouvert de centre A et de rayon 2r.

Illustration dynamique

Données initiales : le cercle \Gamma et son centre O, ainsi que les points A et H.

Les deux boutons permettent d’avancer ou de reculer d’une étape dans la construction.

En approchant le curseur suffisamment près de O, de A ou de H, un petit cercle apparaît, montrant que le point est devenu actif. On peut alors le déplacer en maintenant la touche SHIFT enfoncée et en déplaçant le curseur.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Cet article a 2 commentaires

  1. René Adad 24 Oct 2024 Répondre

    Il me semble que le symétrique de A par rapport à H n’a aucune raison, en général, d’appartenir au cercle circonscrit Γ.
    Sur la figure interactive ci-dessus (étape 5), c’est assez convaincant (quitte à déplacer un peu H).
    Il est en revanche vrai que le symétrique de H par rapport au milieu A’ de [BC] appartient à Γ.
    Il est aussi vrai que le symétrique orthogonal de H par rapport à la droite (BC) appartient à Γ.
    Peut-être faisiez-vous plutôt référence à ces propriétés-là ? Je précise qu’elles sont inconnues d’élèves sortant du lycée (dans l’immense majorité des cas au moins).

  2. Madeleine Lenéez 14 Oct 2024 Répondre

    Le symétrique A » de A par rapport à H appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. La médiatrice de HA » coupe le cercle aux points B et C.
    Cette propriété est-elle connue des élèves de 2024 ?

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