Un sous-groupe additif non dénombrable

Une question classique, située à la jonction entre théorie des groupes et topologie de \mathbb{R}, consiste à décrire les sous-groupes additifs de \mathbb{R} (SGA, en abrégé).

Rappelons qu’un SGA est une partie de \mathbb{R} contenant 0 et stable par différence.

A cet égard, le principal résultat est le suivant :

Théorème

Etant donné un SGA H de \mathbb{R}, non réduit à \left\{ 0\right\} et en notant a la borne inférieure de l’ensemble de ses éléments strictement positifs, de deux choses l’une :

  • ou bien a>0, auquel cas H=a\mathbb{Z}
  • ou bien a=0, auquel cas H est une partie dense de \mathbb{R}

Vous pourrez en suivre une preuve détaillée dans cette vidéo :

Comme exemples de SGA, on peut citer :

  • les parties de la forme a\mathbb{Z}=\left\{ ak;\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} , pour a>0,
  • les sommes de telles parties, comme \mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}=\left\{ a+b\sqrt{2};\thinspace\left(a,b\right)\in\mathbb{Z}^{2}\right\},
  • l’ensemble \mathbb{Q} des nombres rationnels.

Voici maintenant une question qui n’est pas immédiate :

Existe-t-il des SGA qui soient non dénombrables ?

Évidemment, on met de côté la réponse évidente consistant à prendre \mathbb{R} lui-même.

L’objet de cet article est d’en proposer un exemple explicite. On s’intéresse à :

    \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{G=\left\{ x\in\mathbb{R};\thinspace\lim_{n\rightarrow\infty}\sin\left(\pi10^{10^{n}}x\right)=0\right\}}$}\]

Il est facile de voir que G est un SGA :

  • 0\in G d’évidence
  • Si \left(x,y\right)\in G^{2} alors pour tout n\in\mathbb{N} :

        \[\sin\left(\pi10^{10^{n}}\left(x-y\right)\right)=\sin\left(\pi10^{10^{n}}x\right)\cos\left(\pi10^{10^{n}}y\right)-\cos\left(\pi10^{10^{n}}x\right)\sin\left(\pi10^{10^{n}}y\right)\]

    donc :

        \[\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}\left(x-y\right)\right)\right|\leqslant\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}x\right)\right|+\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}y\right)\right|\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}0\]

    et donc x-y\in G.

En outre, pour tout n\in\mathbb{N}, 10^{10^{n}}\equiv1\pmod{9} d’où l’existence d’un entier k_{n}\in\mathbb{N}, tel que 10^{10^{n}}=9k_{n}+1. On voit alors que :

    \[\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}\frac{1}{9}\right)\right|=\left|\sin\left(\pi\left(9k_{n}+1\right)\frac{1}{9}\right)\right|=\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\neq0\]

ce qui prouve que :

    \[\frac{1}{9}\notin G\]

En particulier : G\neq\mathbb{R}. Il reste à voir que G n’est pas dénombrable. Pour cela, considérons l’application

    \[\varphi:\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace u\mapsto\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u_{n}}{10^{10^{n}}}\]

La série converge, d’après le principe de comparaison, puisque :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace0\leqslant\frac{u_{n}}{10^{10^{n}}}\leqslant\frac{1}{10^{n}}\]

Par unicité du développement décimal propre, u est injective. Et comme \left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}} n’est pas dénombrable, il en résulte que \varphi\left\langle \left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}\right\rangle n’est pas dénombrable non plus.

La conclusion va maintenant résulter de l’inclusion \varphi\left\langle \left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}\right\rangle \subset G.

Soit x\in\varphi\left\langle \left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}\right\rangle . Il existe une suite u\in\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}} telle que :

    \[x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u_{k}}{10^{10^{k}}}=S_{n}+R_{n}\]

où l’on a posé, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{u_{k}}{10^{10^{k}}}\qquad\text{et}\qquad R_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{u_{k}}{10^{10^{k}}}\]

On observe, d’une part, que :

    \[10^{10^{n}}S_{n}\in\mathbb{N}\]

et, d’autre part, que :

    \[0\leqslant\frac{u_{k}}{10^{10^{k}}}\leqslant\frac{1}{10^{10^{k}}}=o\left(\frac{1}{10^{10^{k-1}}}-\frac{1}{10^{10^{k}}}\right)\]

d’où (sommation des relations de comparaison et télescopie) :

    \[R_{n}=o\left(\frac{1}{10^{10^{n}}}\right)\]

Il s’ensuit que :

    \[\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}x\right)\right|=\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}S_{n}+\pi10^{10^{n}}R_{n}\right)\right|=\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}R_{n}\right)\right|\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}0\]

et donc x\in G.

En conclusion, l’ensemble

    \[G=\left\{ x\in\mathbb{R};\thinspace\lim_{n\rightarrow\infty}\sin\left(\pi10^{10^{n}}x\right)=0\right\}\]

est un SGA, distinct de \mathbb{R} et non dénombrable.

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