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Une question classique, située à la jonction entre théorie des groupes et topologie de consiste à décrire les sous-groupes additifs de
(SGA, en abrégé).
Rappelons qu’un SGA est une partie de contenant
et stable par différence.
A cet égard, le principal résultat est le suivant :
Théorème
Etant donné un SGA de
non réduit à
et en notant
la borne inférieure de l’ensemble de ses éléments strictement positifs, de deux choses l’une :
- ou bien
auquel cas
- ou bien
auquel cas
est une partie dense de
Vous pourrez en suivre une preuve détaillée dans cette vidéo :
Comme exemples de SGA, on peut citer :
- les parties de la forme
pour
,
- les sommes de telles parties, comme
,
- l’ensemble
des nombres rationnels.
Voici maintenant une question qui n’est pas immédiate :
Existe-t-il des SGA qui soient non dénombrables ?
Évidemment, on met de côté la réponse évidente consistant à prendre lui-même.
L’objet de cet article est d’en proposer un exemple explicite. On s’intéresse à :
Il est facile de voir que est un SGA :
d’évidence
- Si
alors pour tout
:
En outre, pour tout
d’où l’existence d’un entier
tel que
On voit alors que :
![Rendered by QuickLaTeX.com G\neq\mathbb{R}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cad4e4ea9ed1f34b0d56c66cfb3cee09_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com G](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3541c9af0fee3f6687d37f2ac090781_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb72f69723b4beb1544f9ddf4dc77b2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9de64443e8198fd2a89973d4734cb29e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \varphi\left\langle \left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}\right\rangle](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91a234d3d162ae32952916eb9d2e321c_l3.png)
La conclusion va maintenant résulter de l’inclusion
Soit Il existe une suite
telle que :
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40c78fca23fcd2c6858fe61d5e522aaa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in G.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7500974a36ab5ac6428628c828e0c20c_l3.png)
En conclusion, l’ensemble
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da62cea1d9746cdd569dfc9c35a2dd31_l3.png)
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Bonjour Monsieur,
Merci pour cette vidéo et cet article très ludiques et instructifs.
Je dois être passé à côté d’une subtilité, mais pourquoi ne pas prendre simplement 10^n au lieu de 10^(10^n)) dans l’argument de la fonction sinus ?
Bien à vous.
Il me semble qu’avec 10^n, on n’a plus sin(pi 10^n Rn) qui tend vers 0 .