Exercices sur les séries numériques – 02

Neuf énoncés d’exercices sur les séries numériques (fiche 02).

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exercice 1 facile

Pour tout n\in\mathbb{N}^{\star}, on note d_{n} le nombre de diviseurs impairs de n. Montrer que les séries numériques :

    \[\sum_{n\geqslant1}\frac{d_{n}}{n^{3}}\qquad\sum_{n\geqslant1}\thinspace\frac{\sqrt{n}}{d_{n}}\]

sont respectivement convergente et divergente.

exercice 2 facile

Soit \left(a_{n}\right)_{n\geqslant1} une suite termes positifs. On suppose que la suite \left(a_{n}^{1/n}\right)_{n\geqslant1} converge vers L<1.

Montrer que la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}a_{n}} converge.

Appliquer ceci pour établir la convergence de la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}.}

Nature, selon le paramètre \lambda\in\mathbb{R}, de la série de terme général :

    \[w_{n}=n^{\lambda}e^{-\sqrt{n}}\]

Nature de la série de terme général :

    \[u_{n}=\int_{0}^{1}\frac{1}{\left(1+t^{3}\right)^{n}}\thinspace dt\]

Etudier la nature de la série de terme général :

    \[u_{n}=\frac{1}{{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{1/k}}}\]

Nature de la série de terme général :

    \[q_{n}=\frac{1}{\sqrt{e}}-\left[\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{n^{2}}\]

Etant donné un réel s>0, on définit une suite \left(x_{n}\right)_{n\geqslant0} par les relations :

    \[ x_{0}=s\quad\text{et}\quad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n+1}=1-e^{-x_{n}}\]

Préciser la nature de la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}x_{n}}.

On considère une série convergente {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}a_{n}} et une suite \left(b_{n}\right)_{n\geqslant1} croissante et majorée.

Montrer que la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}a_{n}b_{n}} converge.

exercice 9 difficile

Donner un exemple d’une série convergente {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}z_{n}} telle que la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}z_{n}^{3}} diverge.


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