
Considérons l’application
Si l’on pose pour tout :
Ceci montre que est dérivable en
et que
Maintenant, vérifions que n’est monotone sur aucun intervalle de la forme
pour
Ainsi, pour tout
prend sur l’intervalle
des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives. Et comme
est continue sur un tel intervalle, cela entraîne qu’il existe des sous-intervalles de
sur lesquels
est strictement croissante et d’autres sur lesquels elle est strictement décroissante.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici
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