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Considérons l’application

    \[f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\left\{ \begin{array}{cc}x^{2}\sin\left(\frac{2}{x}\right)+x & \text{si }x\neq0\\\\0 & \text{si }x=0\end{array}\right.\]

et montrons qu’elle présente les caractéristiques requises.

Si l’on pose pour tout x\neq0 :

    \[T\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}\]

alors :

    \[T\left(x\right)=x\sin\left(\frac{2}{x}\right)+1\underset{x\rightarrow0}{\rightarrow}1\]

Ceci montre que f est dérivable en 0 et que f'\left(0\right)=1.

Maintenant, vérifions que f n’est monotone sur aucun intervalle de la forme \left[-a,a\right], pour a>0.

    \[\forall x\in\mathbb{R}^{\star},\thinspace f'\left(x\right)=1+2x\sin\left(\frac{2}{x}\right)-2\cos\left(\frac{2}{x}\right)\]

On observe que :

    \[\lim_{x\rightarrow0}2x\sin\left(\frac{2}{x}\right)=0\]

et que pour tout a>0, la quantité {\displaystyle 1-2\cos\left(\frac{2}{x}\right)} prend sur \left]0,a\right[ toutes les valeurs comprises entre -1 et 3.

Ainsi, pour tout a>0, f' prend sur l’intervalle \left]0,a\right[ des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives. Et comme f' est continue sur un tel intervalle, cela entraîne qu’il existe des sous-intervalles de \left]0,a\right[ sur lesquels f est strictement croissante et d’autres sur lesquels elle est strictement décroissante.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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