Comment étudier une fonction ?

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Cet article présente quelques unes des principales techniques pour étudier les variations d’une fonction numérique et obtenir ensuite un tracé suffisamment précis de son graphe.

Les exemples proposés sont de difficulté variée. La plupart sont accessibles dès la terminale. Quelques uns sont plus élaborés et requièrent davantage de connaissances.

Dans tout ce qui suit, f désigne une fonction numérique, c’est-à-dire une fonction f de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.

1 – Domaine de définition

On démarre l’étude de f en déterminant les réels x pour lesquels l’expression f\left(x\right) est bien définie. L’ensemble de ces valeurs est appelé le domaine de définition de f. On peut le noter D_{f}.

Par exemple, le calcul de :

    \[f\left(x\right)=\frac{x+\sqrt{1-x^{2}}}{3x-1}\]

n’est envisageable que si 1-x^{2}\geqslant0 et 3x-1\neq0. Il en résulte que :

    \[\boxed{D_{f}=\left[-1,\frac{1}{3}\right[\cup\left]\frac{1}{3},1\right]}\]

Et pour que l’expression :

    \[g\left(x\right)=\frac{\ln\left(3-x\right)}{\ln\left(x-1\right)}\]

soit bien définie, il est nécessaire et suffisant que les trois conditions suivantes soient simultanément remplies :

    \[3-x>0,\qquad x-1>0,\qquad\ln\left(x-1\right)\neq0\]

Autrement dit :

    \[\boxed{D_{g}=\left]1,2\right[\cup\left]2,3\right[}\]

Exercice 1

Vous pouvez vous entraîner en déterminant les domaines de définition des fonctions suivantes :

    \[\begin{array}{ccc}f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-1}{x^{2}-4}} & ; & g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x-\frac{1}{x}}}\\ \\h\left(x\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} & ; & u\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^{2}-2x+1}{\left(x-1\right)^{2}}}\\ \\v\left(x\right)={\displaystyle \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}} & ; & w\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-1-\sqrt{-x}}{x^{2}-x}}\end{array}\]

    \[\begin{array}{ccc}F\left(x\right)={\displaystyle \ln\left(\frac{x^{2}-1}{x}\right)} & ; & G\left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln\left(x\right)}{\sqrt{1+\ln\left(x\right)}}}\\ \\H\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{e^{x}-1-x}} & ; & U\left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln\left(\ln\left(x\right)\right)}{\ln\left(x\right)-2}}\\ \\V\left(x\right)=\ln\left(\sin\left(x\right)\right) & ; & W\left(x\right)={\displaystyle \frac{\sin\left(x\right)}{\cos^{2}\left(x\right)+\left(2x-\pi\right)^{2}}}\end{array}\]

2 – Eventuelles symétries

Le graphe de f est par définition :

    \[\Gamma=\left\{ \left(x,f\left(x\right)\right);\thinspace x\in D_{f}\right\}\]

C’est une partie de \mathbb{R}^{2} (qu’on appelle aussi la “courbe représentative” de f).

Ce graphe peut parfois présenter des symétries. En les détectant à l’avance, on limite l’étude de f à une partie de D_{f}. On trace alors une portion du graphe, que l’on complète ensuite pour obtenir le graphe entier, en utilisant la (ou les) symétrie(s) en question.

Les deux symétries les plus simples, auxquelles nous nous limiterons, sont les suivantes :

  • symétrie par rapport à une droite “verticale” d’équation x=\alpha pour un certain \alpha\in\mathbb{R}
  • symétrie centrale par rapport à un point \left(\alpha,\beta\right)

Formalisons cette histoire de symétrie.

Définition

Soit A\subset\mathbb{R}. On dit que A est symétrique par rapport à \alpha lorsque :

    \[\forall x\in A,\thinspace2\alpha-x\in A\]

Noter que \alpha peut ne pas appartenir à A. Par exemple : \mathbb{R}-\left\{ 0\right\} est symétrique par rapport à 0.

On peut alors établir la :

Proposition

Soit A une partie de \mathbb{R} symétrique par rapport à \alpha et soit f:A\rightarrow\mathbb{R} une application.

On note \Gamma le graphe de f.

  • Si :

        \[\forall x\in A,\thinspace f\left(x\right)=f\left(2\alpha-x\right)\]

    alors \Gamma présente une symétrie par rapport à la droite d’équation x=\alpha.
  • S’il existe \beta\in\mathbb{R} tel que :

        \[\forall x\in A,\thinspace f\left(x\right)+f\left(2\alpha-x\right)=2\beta\]

    alors \Gamma présente une symétrie centrale de centre \left(\alpha,\beta\right).

Donnons deux exemples; un pour chacun des deux scénarios …

Exemple 1

Considérons la fonction f définie par :

    \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R},\;f\left(x\right)=\cos\left(x\right)+\sqrt{3}\sin\left(x\right)}\]

et vérifions que :

    \[\forall x\in\mathbb{R},\;f\left(\frac{8\pi}{3}-x\right)=f\left(x\right)\]

Tout d’abord, modifions l’écriture de f\left(x\right) en remarquant que :

    \begin{eqnarray*}f\left(x\right) & = & 2\left(\frac{1}{2}\cos\left(x\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(x\right)\right)\\ & = & 2\left(\cos\left(x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)\\ & = & 2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\end{eqnarray*}


On voit maintenant que :

    \begin{eqnarray*}f\left(\frac{8\pi}{3}-x\right) & = & 2\cos\left(\frac{7\pi}{3}-x\right)\\ & = & 2\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{3}-x\right)\\ & = & 2\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\\ & = & f\left(x\right)\end{eqnarray*}


La graphe de f présente donc une symétrie par rapport à la droite
d’équation {\displaystyle x=\frac{4\pi}{3}.}

Précisons que cette droite n’est pas le seul axe de symétrie ! Pour
tout k\in\mathbb{Z}, la droite d’équation x=\frac{4\pi}{3}+k\pi
est axe de symétrie.

Exemple 2

Considérons la fonction g définie par :

    \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R},\thinspace g\left(x\right)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}}\]


On observe que, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \begin{eqnarray*}g\left(x\right)+g\left(-x\right) & = & \frac{e^{x}}{e^{x}+1}+\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}\\ & = & \frac{e^{x}}{e^{x}+1}+\frac{1}{e^{x}+1}\\ & = & 1 \end{eqnarray*}

Ceci montre que \left(0,\frac{1}{2}\right) est centre de symétrie pour le graphe de g.

Ce point \left(0,\frac{1}{2}\right) est aussi l’unique point d’inflexion du graphe de g (voir section 5).

Exercice 2

1°) Vérifier que la courbe d’équation

    \[y=\frac{\cos\left(\pi x\right)}{x^{2}+2x+2}\]

possède un axe vertical de symétrie.

2°) Vérifier que la courbe d’équation

    \[y=\frac{x^{3}-5x^{2}+7x-1}{x^{2}-4x+5}\]

possède un centre de symétrie.

3 – Périodicité éventuelle

Définition

Une partie A de \mathbb{R} est dite invariante par translation de T (pour un certain réel T>0) lorsque :

    \[\forall x\in A,\thinspace x+T\in A\quad\text{et}\quad x-T\in A\]

Par exemple, \mathbb{Z} est invariant par translation de 1.

On notera que si A est invariant par translation de T, alors A est aussi invariant par translation de kT, quel que soit l’entier k\geqslant1.

Exercice 3

Sauriez-vous prouver que si A\subset\mathbb{R} est invariant par translation de T, alors il en va de même pour \mathbb{R}-A ?

Exercice 4

On note G=\left\{ a+b\sqrt{2};\thinspace\left(a,b\right)\in\mathbb{Z}^{2}\right\}. Montrer qu’il existe des nombres réels T>0 arbitrairement petits tels que G soit invariant par translation de T.

Nous pouvons maintenant définir la notion de fonction périodique.

Définition

Etant donné T>0 et une partie A de \mathbb{R} invariante par translation de T, une application f:A\rightarrow\mathbb{R} est dite T-périodique lorsque :

    \[\forall x\in A,\thinspace f\left(x+T\right)=f\left(x\right)\]

Noter qu’on a alors :

    \[\forall x\in A,\thinspace f\left(x-T\right)=f\left(x\right)\]

et, plus généralement :

    \[\forall x\in A,\thinspace\forall k\in\mathbb{Z},\thinspace f\left(x+kT\right)=f\left(x\right)\]

Lorsqu’une fonction est T-périodique, son graphe est invariant par translation de vecteur \left(T,0\right) (et aussi de vecteur \left(-T,0\right) et, plus généralement, de vecteur \left(kT,0\right) pour tout entier k\geqslant1).

Trois exemples classiques de fonctions périodiques :

  • L’application \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto a\cos\left(\omega x+\varphi\right) est \frac{2\pi}{\omega}-périodique (a,\varphi deux réels donnés).
  • L’application \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x-\left\lfloor x\right\rfloor est 1-périodique.
  • Si l’on pose D=\mathbb{R}-\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi;\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\}, alors l’application D\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)} (appelée fonction tangente) est \pi-périodique.


L’illustration dynamique ci-dessous montre le graphe de x\mapsto A\sin\left(\omega x+\varphi\right).

En jouant avec les sliders, on modifie A (l’amplitude) , \omega (la pulsation) et \varphi (le déphasage). Les touches P (plus) et M (moins) permettent de (dé-)zoomer. Le système de coordonnées peut être translaté en cliquant-déplaçant dans la zone d’affichage.

Sinusoide


Exercice 5

Si f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} sont périodiques, peut-on affirmer que f+g est aussi périodique ?

4 – Rôle de la dérivée

On s’intéresse maintenant au sens de variation d’une fonction.

Commençons par préciser le vocabulaire :

Définition

Soit A une partie de \mathbb{R} et soit f:A\rightarrow\mathbb{R} une application.

f est dite croissante lorsque :

f\left(x\right)\leqslant f\left(x'\right) pour tout couple \left(x,x'\right)\in A^{2} tel que x<x'.

f est dite strictement croissante lorsque :

f\left(x\right)<f\left(x'\right) pour tout couple \left(x,x'\right)\in A^{2} tel que x<x'.

Définitions analogues pour “décroissante” et “strictement décroissante”.

Enfin, f est dite (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.

Attention !! Une erreur classique consiste à affirmer que si f:\mathbb{R\rightarrow\mathbb{R}} vérifie

    \[\forall x\in\mathbb{R},\thinspace f\left(x\right)\leqslant f\left(x+1\right)\qquad\left(\star\right)\]

pour tout x\in\mathbb{R}, alors f serait croissante. Le contre-exemple ci-dessous explique en quoi cela est incorrect.

Preuve (cliquer pour déplier / replier)

Considérons, pour tout \omega>0, l’application :

    \[f_{\omega}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x+\sin\left(\omega x\right)\]

La dérivée de f_{\omega} est donnée :

    \[\forall x\in\mathbb{R},\thinspace f_{\omega}'\left(x\right)=1+\omega\cos\left(\omega x\right)\]

Supposons \boxed{\omega>1}

Alors :

    \[\left\{\begin{array}{c}f_{\omega}'\left(0\right)=1+\omega>0\\\\f_{\omega}'\left(\frac{\pi}{\omega}\right)=1-\omega<0\end{array}\right.\]

Par continuité de f_{\omega}', on en déduit qu’il existe :

  • un intervalle I centré en 0 tel que f_{\omega}'\left(x\right)>0 pour tout x\in I
  • un intervalle J centré en \pi/\omega tel que f_{\omega}'\left(x\right)<0 pour tout x\in J

Par conséquent, f_{\omega} est strictement croissante sur I, strictement décroissante sur J et donc pas monotone (sur \mathbb{R}). Dans le même temps, on observe que :

    \begin{eqnarray*}f_{\omega}\left(x+1\right)-f_{\omega}\left(x\right) & = & 1+\sin\left(\omega x+\omega\right)-\sin\left(\omega x\right)\\& = & 1+2\cos\left(\omega x+\frac{\omega}{2}\right)\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)\end{eqnarray*}

Donc, si \boxed{{\displaystyle \omega<\frac{\pi}{3}}} alors :

    \[2\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)<1\]

et donc :

    \[\forall x\in\mathbb{R},\thinspace f_{\omega}\left(x+1\right)-f_{\omega}\left(x\right)>0\]

Le résultat suivant est fondamental :

Théorème

Soit I un intervalle non trivial I et soit f:I\rightarrow\mathbb{R} une application dérivable.

  • Si f'\left(t\right)\geqslant0 pour tout t\in I, alors f est croissante.
  • Si f'\left(t\right)>0 pour tout t\in I, alors f est strictement croissante.

Bien entendu, si f'\left(t\right)\leqslant0 pour tout t\in I, alors f est décroissante. Il suffit d’appliquer le premier point du théorème à -f.

De même, si f'\left(t\right)<0 pour tout t\in I, alors f est strictement décroissante.

On prouve ce théorème grâce à la formule des accroissements finis :

Soient x,x'\in I tels que x<x'. D’après la formule des accroissements finis :

    \[\exists c\in\left]x,x'\right[,\:f\left(x'\right)-f\left(x\right)=\left(x'-x\right)\thinspace f'\left(c\right)\]


Sous l’hypothèse \forall t\in I,\thinspace f'\left(t\right)\geqslant0, on en déduit que f\left(x'\right)-f\left(x\right)\geqslant0 et ceci prouve que f est croissante.

Et de même, sous l’hypothèse \forall t\in I,\thinspace f'\left(t\right)>0, on voit que f\left(x'\right)-f\left(x\right)>0, ce qui montre la stricte croissance de f.

Ajoutons quelques observations :

  1. L’hypothèse que I est un intervalle n’est pas superflue ! Par exemple, l’application

        \[\Phi:\mathbb{R}^{\star}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{1}{x}\]

    possède une dérivée strictement négative en tout point, mais n’est pas monotone. En effet : d’une part -1<1 et \Phi\left(-1\right)<\Phi\left(1\right), donc \Phi n’est pas décroissante et, d’autre part 1<2 et \Phi\left(1\right)>\Phi\left(2\right), donc \Phi n’est pas croissante. Bien entendu, la restriction de \Phi à chacun des intervalles \left]-\infty,0\right[ et \left]0,+\infty\right[ est strictement décroissante.
  2. La réciproque de \left(1\right) est vraie (mais nettement moins utile) : si f est croissante alors f'\left(t\right)\geqslant0 pour tout t\in I.
  3. La réciproque de \left(2\right) est fausse. Autrement dit, f peut être strictement croissante même sif' s’annule. Par exemple, l’application \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x^{3} est strictement croissante bien que sa dérivée s’annule en 0. Afin de préciser cette remarque, on peut énoncer le :

Théorème

Soit I un intervalle non trivial I et soit f:I\rightarrow\mathbb{R} une application dérivable. Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :

  • f est strictement croissante
  • f'\geqslant0 et l’ensemble \left\{ t\in I;\thinspace f'\left(t\right)=0\right\} est d’intérieur vide

En particulier, il suffit que f' soit positive et ne s’annule qu’en un nombre fini de points pour que f soit strictement croissante.

Exercice 6

Donner un exemple d’une application f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dérivable, strictement croissante et dont la dérivée s’annule une infinité de fois.

5 – Convexité

Considérons un intervalle non trivial I et une application f:I\rightarrow\mathbb{R}.

Notons toujours \Gamma le graphe de f.

Naïvement parlant, f est convexe lorsque \Gamma est “tourné vers le haut” et concave lorsque \Gamma est “tourné vers le bas”.

Cela dit, une définition rigoureuse de la convexité s’impose. La voici :

Définition

L’application f:I\rightarrow\mathbb{R} est dite convexe lorsque, pour tout couple \left(x,x'\right) d’éléments de I et pour tout t\in\left[0,1\right] :

    \[f\left(\left(1-t\right)x+tx'\right)\leqslant\left(1-t\right)\thinspace f\left(x\right)+t\thinspace f\left(x'\right)\]

Ajoutons que f est dite concave lorsque -f est convexe, ce qui
revient simplement à dire que le sens de l’inégalité est renversé.

Pour en savoir un peu plus, on pourra consulter cette rubrique du lexique Math-OS.

Dans cet article de niveau lycée, nous n’approfondirons pas ce point de vue. L’accent est plutôt mis sur la :

Proposition

Etant donnée f:I\rightarrow\mathbb{R} deux fois dérivable, les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. f est convexe
  2. pour tout x\in I, f''\left(x\right)\geqslant0

Comme on peut s’en douter, on a aussi : f concave si et seulement
si f''\left(x\right)\leqslant0 pour tout x\in I. Il suffit d’appliquer
la proposition ci-dessus à -f.

Lorsque la dérivée seconde de f s’annule et change de signe pour x=\alpha, le graphe \Gamma de f change de concavité. On dit que \left(\alpha,f\left(\alpha\right)\right) est un point d’inflexion pour \Gamma. Sur l’illustration ci-dessous, on en dénombre sept :

Comme on peut le voir, \Gamma traverse localement sa tangente en un point d’inflexion.

Exercice 7

Si f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sont convexes, peut-on affirmer que g\circ f est aussi convexe ?

6 – Branches Infinies

Examinons l’application :

    \[\boxed{g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{x^{3}+2x^{2}-2x-3}{x^{2}+1}}\]

Lorsque x est “très grand”, on comprend intuitivement que la valeur de l’expression 2x^{2}-2x-3, quoique certainement très élevée, ne fait pas le poids devant le terme x^{3}, considérablement plus grand.

Grosso modo, le numérateur se comporte comme x^{3} lorsque x tend vers +\infty. De la même manière, le dénominateur se comporte comme x^{2}, de sorte que g\left(x\right) doit se comporter comme x.

A présent, rendons cela rigoureux …

En mettant le terme prépondérant en facteur, au numérateur comme au dénominateur, on peut écrire f\left(x\right) sous la forme :

    \begin{eqnarray*}g\left(x\right) & = & \frac{x^{3}\left(1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{3}{x^{3}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}\end{eqnarray*}

c’est-à-dire :

    \[g\left(x\right)=x\:h\left(x\right)\qquad\text{avec }\lim_{x\rightarrow+\infty}h\left(x\right)=1\]

On dit que g\left(x\right) équivaut à x lorsque x tend vers +\infty (pour exprimer que le quotient de ces deux quantités tend vers 1), ce qui se note :

    \[\boxed{g\left(x\right)\underset{{\scriptstyle +\infty}}{\sim}x}\]

Afin de préciser davantage le comportement de g\left(x\right) pour les grandes valeurs de x, on s’intéresse maintenant à la différence :

    \begin{eqnarray*}g\left(x\right)-x & = & \frac{x^{3}+2x^{2}-2x-3}{x^{2}+1}-x\\ & = & \frac{x^{3}+2x^{2}-2x-3-x\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}\\ & = & \frac{2x^{2}-3x-3}{x^{2}+1}\end{eqnarray*}

Par un calcul similaire, on voit que :

    \[\boxed{\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(g\left(x\right)-x\right)=2}\]

On regarde alors :

    \begin{eqnarray*}g\left(x\right)-x-2 & = & \frac{2x^{2}-3x-3}{x^{2}+1}-2\\ & = & \frac{2x^{2}-3x-3-2\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}\\ & = & \frac{-3x-5}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}

d’où l’on déduit :

    \[\boxed{\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(g\left(x\right)-x-2\right)=0}\]

Il est temps de donner une :

Définition

Etant donnée une application f:\left[A,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R}, s’il existe un couple \left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2} tel que :

    \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(f\left(x\right)-ax-b\right)=0\]

On dit que la droite \Delta d’équation y=ax+b est asymptote au graphe \Gamma de f en +\infty.

Si a\neq0, on dit que \Delta est une asymptote oblique et l’on parle d’asymptote horizontale si a=0.

Afin de préciser les positions relatives de \Gamma et \Delta
(c’est-à-dire : “qui est au-dessus de qui”), on devra déterminer le signe de l’expression f\left(x\right)-ax-b.

Pour revenir à l’exemple de la fonction g, son graphe \Gamma présente en +\infty une asymptote oblique \Delta d’équation y=x+2.

En outre, le calcul a montré que la différence g\left(x\right)-x-2 est du même signe que -3x-5, c’est-à-dire positif si x<-\frac{5}{3} et négatif sinon. Ceci donne les positions relatives de \Gamma et \Delta :

  • pour x<-\frac{5}{3}, \Gamma est au-dessus de \Delta
  • pour x>-\frac{5}{3}, \Gamma est en-dessous de \Delta

En pratique, étant donnée une fonction f:\left[A,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R} telle que {\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty,} que faire pour déterminer l’équation d’une éventuelle droite asymptote ? Voici la recette.

On calcule d’abord :

    \[\lambda=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}\]

… si toutefois cette limite existe ! (ce qui n’est pas automatique).

On distingue alors trois cas :

  • \lambda=+\infty, on dit que \Gamma présente en +\infty une branche parabolique d’axe Oy. C’est par exemple le cas lorsque f est un trinôme x\mapsto ax^{2}+bx+c avec a>0, ou encore pour x\mapsto e^{x}.
  • Si \lambda=0, on dit que \Gamma présente en +\infty une branche parabolique d’axe Ox. C’est notamment le cas pour x\mapsto\sqrt{x} ou encore pour x\mapsto\ln\left(x\right).
  • Si \lambda\in\left]0,+\infty\right[, on calcule :

        \[\mu={\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(f\left(x\right)-\lambda x\right)}\]

    … toujours sous réserve d’existence ! Si cette limite est finie, alors la droite d’équation y=\lambda x+\mu est asymptote en +\infty au graphe \Gamma de f.

7 – Quelques études détaillées

Dans cette section, on détaille l’étude de quelques fonctions, en mettant à profit les différentes techniques présentées précédemment.

Etude n° 1

Intéressons-nous à :

    \[\boxed{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\sqrt{4x^{2}+x+1}}\]

Cette fonction est bien définie sur \mathbb{R} puisque 4x^{2}+x+1>0 pour tout x (discriminant \Delta=-15<0).

Comme la fonction racine carrée est dérivable sur \left]0,+\infty\right[, on voit que f est dérivable et que :

    \[ \forall x\in\mathbb{R},\thinspace f'\left(x\right)=\frac{8x+1}{2\sqrt{4x^{2}+x+1}} \]

Il en résulte que f décroît sur \left]-\infty,-\frac{1}{8}\right], croît sur \left[-\frac{1}{8},+\infty\right[ et présente en -\frac{1}{8} un minimum absolu :

    \[ f\left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{\sqrt{15}}{4} \]

Le graphe \Gamma de f présente une symétrie d’axe x=-\frac{1}{8} puisque, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \begin{eqnarray*}f\left(-\frac{1}{4}-x\right) & = & \sqrt{4\left(-\frac{1}{4}-x\right)^{2}+\left(-\frac{1}{4}-x\right)+1}\\ & = & \sqrt{4\left(\frac{1}{16}+\frac{x}{2}+x^{2}\right)-x+\frac{3}{4}}\\ & = & \sqrt{4x^{2}+x+1}\\ & = & f\left(x\right) \end{eqnarray*}

f est convexe, car pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ f''\left(x\right)=\frac{4}{\sqrt{4x^{2}+x+1}}-\frac{\left(8x+1\right)^{2}}{4\left(4x^{2}+x+1\right)^{3/2}} \]

et cette expression est du même signe que :

    \[ g\left(x\right)=16\left(4x^{2}+x+1\right)-\left(8x+1\right)^{2}=15>0\]

Terminons par l’étude du comportement asymptotique. Il est clair que :

    \[\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\]

Ensuite, pour tout x>0 :

    \[\frac{f\left(x\right)}{x}=\frac{\sqrt{4x^{2}+x+1}}{x}=\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}\]

d’où

    \[\boxed{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=2}\]

puis :

    \begin{eqnarray*}f\left(x\right)-2x & = & \sqrt{4x^{2}+x+1}-2x\\ & = & \frac{x+1}{\sqrt{4x^{2}+x+1}+2x}\\ & = & \frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+2} \end{eqnarray*}

et donc :

    \[\boxed{\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(f\left(x\right)-2x\right)=\frac{1}{4}}\]

et la différence f\left(x\right)-2x est positive pour tout x\in\mathbb{R}. Ainsi, la droite \Delta d’équation :

    \[y=2x+\frac{1}{4}\]

est asymptote en +\infty au graphe de f et \Gamma est au-dessus de \Delta.

Etude n° 2

On s’intéresse à présent à :

    \[\boxed{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto e^{x}-2\thinspace e^{2x}+e^{3x}}\]

On calcule, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \begin{eqnarray*}f'\left(x\right) & = & e^{x}-4\thinspace e^{2x}+3\thinspace e^{3x}\\ & = & e^{x}\left(e^{x}-1\right)\left(3\thinspace e^{x}-1\right) \end{eqnarray*}

ce qui montre que f croît sur \left]-\infty,-\ln\left(3\right)\right], décroît sur \left[-\ln\left(3\right),0\right] et croit à nouveau sur \left[0,+\infty\right[.

Ensuite :

    \begin{eqnarray*}f''\left(x\right) & = & e^{x}-8\thinspace e^{2x}+27\thinspace e^{3x}\\ & = & e^{x}\left(e^{x}-\frac{4-\sqrt{7}}{9}\right)\left(e^{x}-\frac{4+\sqrt{7}}{9}\right) \end{eqnarray*}

et donc, si l’on pose :

    \[\alpha=\ln\left(\frac{4-\sqrt{7}}{9}\right)\simeq-1.89\]

    \[\beta=\ln\left(\frac{4+\sqrt{7}}{9}\right)\simeq-0.30\]

alors f est convexe sur \left]-\infty,\alpha\right], concave sur \left[\alpha,\beta\right] et convexe sur \left[\beta,+\infty\right[. Son graphe \Gamma présente deux points d’inflexions, d’abscisses respectives \alpha et \beta.

La droite d’équation y=0 est asymptote à \Gamma en -\infty.

\Gamma présente en +\infty une branche parabolique d’axe x=0.

Etude n° 3

Considérons la fonction :

    \[\boxed{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto e^{x}\ln\left(x\right)}\]

qui est définie et dérivable sur \left]0,+\infty\right[. Sa dérivée est donnée par :

    \[\forall x>0,\thinspace f'\left(x\right)=e^{x}\left(\ln\left(x\right)+\frac{1}{x}\right)\]

Elle est donc du signe de :

    \[g\left(x\right)=\ln\left(x\right)+\frac{1}{x}\]

Or :

    \[g'\left(x\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x-1}{x^{2}}\]

Ainsi, g décroît sur \left]0,1\right] et croît sur \left[1,+\infty\right[.

On calcule ensuite la dérivée seconde :

    \[f''\left(x\right)=e^{x}\left(\ln\left(x\right)+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)\]

qui est du signe de :

    \[k\left(x\right)=\ln\left(x\right)+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}\]

Or :

    \[k'\left(x\right)=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}=\frac{x^{2}-2x+2}{x^{3}}>0\]

Donc k est strictement croissante. Comme :

    \[k\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln\left(2\right)<0\qquad\text{et}\qquad k\left(1\right)=1>0\]

il existe un unique \lambda\in\left]\frac{1}{2},1\right[ tel que k\left(\lambda\right)=0.

Par une dichotomie (non détaillée), on trouve \lambda\simeq0,59 à 10^{-2} près.

Ainsi, f est concave sur \left]0,\lambda\right] et convexe sur \left[\lambda,+\infty\right[. Le graphe présente une inflexion au point d’abscisse \lambda.

Etude n° 4

Dans cet exemple, on va voir apparaître un comportement asymptotique différent de ceux rencontrés plus haut. Posons, pour tout x\in\mathbb{R}^{\star} :

    \[\boxed{f\left(x\right)=4x^{2}+\frac{1}{x}}\]

Alors :

    \[f'\left(x\right)=8x-\frac{1}{x^{2}}\]

Cette expression est du signe de 8x^{3}-1, donc de 2x-1 car

    \[8x^{3}-1=\left(2x-1\right)\left(4x^{2}+2x+1\right)\]

et le trinôme 4x^{2}+2x+1 est de signe constant. Ainsi, f est décroissante sur chacun des intervalles \left]-\infty,0\right[ et \left]0,\frac{1}{2}\right], et croissante sur \left[\frac{1}{2},+\infty\right[.

La dérivée seconde de f est donnée par :

    \[f''\left(x\right)=8+\frac{2}{x^{3}}=\frac{2\left(4x^{3}+1\right)}{x^{3}}\]

Pour x>0, cette expression est strictement positive.

Et pour x<0, elle est du signe contraire à : x\sqrt[3]{4}+1.

On a donc une inflexion en \left(\mu,0\right), avec :

    \[ \mu=-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\simeq-0,63 \]

Lorsque x\rightarrow\pm\infty, on voit que f\left(x\right)-4x^{2}\rightarrow0. Ceci s’interprète en disant que la parabole \mathcal{P} d’équation y=4x^{2} est asymptote au graphe \Gamma de f. Ajoutons que \Gamma est au-dessus de \mathcal{P} pour x>0 et en-dessous pour x<0.

Etude n° 5

On passe à l’étude des variations de :

    \[\boxed{f:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\,x\mapsto x^{x-x^{2}}}\]

Par définition f\left(x\right)=\exp\left(\left(x-x^{2}\right)\ln\left(x\right)\right), expression bien définie pour tout x>0.

La dérivée de f est donnée par :

    \[f'\left(x\right)=\left[\left(1-2x\right)\ln\left(x\right)+1-x\right]\,f\left(x\right)\]

expression du signe de \left(1-2x\right)\,g\left(x\right), où l’on a posé :

    \[g\left(x\right)=\ln\left(x\right)+\frac{x-1}{2x-1}\]

g est définie et dérivable sur D_{g}=\left]0,\frac{1}{2}\right[\cup\left]\frac{1}{2},+\infty\right[ et pour tout x\in D_{g} :

    \[g'\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\left(2x-1\right)^{2}}>0\]

Ainsi \forall x\in D_{g},\,g'\left(x\right)>0 et donc g croît strictement sur \left]0,\frac{1}{2}\right[ ainsi que sur \left]\frac{1}{2},+\infty\right[ (mais pas sur D_{g} a priori !). Comme :

    \[\lim_{x\rightarrow0^{+}}g\left(x\right)=-\infty\mbox{ et }\lim_{x\rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{-}}g\left(x\right)=+\infty\]

il existe un unique \alpha\in\left]0,\frac{1}{2}\right[ tel que g\left(\alpha\right)=0.

De même, comme :

    \[\lim_{x\rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{+}}g\left(x\right)=-\infty\mbox{ et }\lim_{x\rightarrow+\infty}g\left(x\right)=+\infty\]

il existe un unique \beta\in\left]\frac{1}{2},+\infty\right[ tel que g\left(\beta\right)=0. On voit que g\left(1\right)=0; et ainsi \beta=1. Tout ceci permet de construire le tableau suivant :

Comme f possède en 0 la limite finie 1, on peut effectuer un prolongement par continuité :

    \[\tilde{f}:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\,x\mapsto\left\{ \begin{array}{cc}f\left(x\right) & \mbox{si }x>0\\\\1 & \mbox{si }x=0\end{array}\right.\]

On examine la dérivabilité de \tilde{f} en 0. Pour tout x>0 :

    \[\frac{\tilde{f}\left(x\right)-\tilde{f}\left(0\right)}{x}=\frac{e^{\left(x-x^{2}\right)\ln\left(x\right)}-1}{\left(x-x^{2}\right)\ln\left(x\right)}\,\left(1-x\right)\ln\left(x\right)\]

Comme

    \[\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(x-x^{2}\right)\ln\left(x\right)=0\quad\text{et}\quad\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{h}-1}{h}=1\]

on a par composition des limites :

    \[\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{e^{\left(x-x^{2}\right)\ln\left(x\right)}-1}{\left(x-x^{2}\right)\ln\left(x\right)}=1\]

Par ailleurs {\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(1-x\right)\ln\left(x\right)=-\infty}, de sorte que finalement

    \[\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\tilde{f}\left(x\right)-\tilde{f}\left(0\right)}{x}=-\infty\]

Ainsi, \tilde{f} n’est pas dérivable en 0. Son graphe présente au point de coordonnées \left(0,1\right) une demi-tangente verticale.

Par dichotomie, on trouve \alpha\simeq0,2356 et f\left(\alpha\right)\simeq0,7708.

Etude n° 6

Etudions pour finir les variations de :

    \[\boxed{f:\mathbb{R}^{\star}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\left(x-2-\frac{1}{x}\right)\thinspace e^{-1/x}}\]

On calcule la dérivée :

    \begin{eqnarray*}f'\left(x\right) & = & \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)e^{-1/x}+\left(x-2-\frac{1}{x}\right)\frac{e^{-1/x}}{x^{2}}\\ & = & \frac{e^{-1/x}}{x^{3}}\left(x^{3}+x^{2}-x-1\right)\\ & = & \frac{e^{-1/x}}{x^{3}}\left(x+1\right)^{2}\left(x-1\right) \end{eqnarray*}

ce qui permet de construire le tableau de variations suivants :

f n’est pas définie en 0 mais possède en ce point une limite à droite nulle. Si l’on note F la restriction de f à \left]0,+\infty\right[, on peut donc prolonger F par continuité en posant :

    \[F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{cc}f\left(x\right) & \text{si }x>0\\\\0 & \text{si }x=0\end{array}\right.\]

On constate alors que, pour tout x>0 :

    \[\frac{F\left(x\right)-F\left(0\right)}{x}=\left(1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{-1/x}\]

et donc :

    \[\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{F\left(x\right)-F\left(0\right)}{x}=0\]

ce qui prouve que F est dérivable en 0 et que F'\left(0\right)=0.

Ceci se traduit, pour le graphe \Gamma de f, par une demi-tangente de pente nulle à l’origine.

Pour l’étude du comportement asymptotique en \pm\infty, on va utiliser le développement limité de l’exponentielle en 0 à l’ordre 2 :

    \begin{eqnarray*}f\left(x\right) & = & \left(x-2-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}+o\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)\\ & = & x-3-\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}

Il en résulte que la droite \Delta d’équation y=x-3 est asymptote en +\infty et en -\infty à \Gamma. Pour \left|x\right| assez grand, ce développement asymptotique donne le signe de la différence f\left(x\right)-\left(x-3\right). On voit ainsi que \Gamma est en-dessous de \Delta en -\infty et au-dessus en +\infty.

8 – Variations et Inégalités

L’étude des variations d’une fonction peut servir à établir des inégalités dont la preuve directe n’est pas accessible directement (ou à la rigueur accessible, mais pas évidente). Voici trois exemples, sous forme d’exercices corrigés :

Exercice 8

Etant donnés a,b tels que 0<a<b, comparer les nombres a\thinspace e^{-bx}-b\thinspace e^{-ax} et a-b.

Solution proposée –

Posons pour tout x\geqslant0 :

    \[f\left(x\right)=a\thinspace e^{-bx}-b\thinspace e^{-ax}\]

Alors :

    \[f'\left(x\right)=ab\left(e^{-ax}-e^{-bx}\right)\]

Comme l’exponentielle est croissante, on voit que f'\left(x\right)\geqslant0, l’inégalité étant stricte pour x>0. Ainsi, f est strictement croissante sur \left[0,+\infty\right[. Mais f\left(0\right)=a-b et donc :

    \[\forall x>0,\thinspace a-b<a\thinspace e^{-bx}-b\thinspace e^{-ax}\]

Exercice 9

Comparer, pour x>0 les nombres :

    \[x,\quad x-\frac{x^{2}}{2},\quad\ln\left(1+x\right)\]

Solution proposée –

Introduisons deux fonctions \varphi et \psi :

    \[\varphi:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\ln\left(1+x\right)-x\]

    \[\psi:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\ln\left(1+x\right)-x+\frac{x^{2}}{2}\]

On constate d’une part que :

    \[\varphi'\left(x\right)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}\leqslant0\]

d’où la décroissance de \varphi. Comme \varphi\left(0\right)=0, alors \varphi\left(x\right)\leqslant0 pour tout x\geqslant0. Autrement dit :

    \[\forall x\in\left[0,+\infty\right[,\thinspace\ln\left(1+x\right)\leqslant x\]

D’autre part :

    \[\psi'\left(x\right)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^{2}}{1+x}\geqslant0\]

ce qui montre que \psi est croissante. Or \psi\left(0\right)=0 et donc \psi\left(x\right)\geqslant0 pour tout x\in\mathbb{R}. Ainsi :

    \[\forall x\in\left[0+\infty\right[,\thinspace\ln\left(1+x\right)\geqslant x-\frac{x^{2}}{2}\]

Conclusion générale :

    \[\boxed{\forall x\in\left[0,+\infty\right[,\thinspace x-\frac{x^{2}}{2}\leqslant\ln\left(1+x\right)\leqslant x}\]

Notons que l’inégalité \ln\left(1+x\right)\leqslant x est vraie pour tout x>-1, ce qu’on peut voir en complétant l’étude des variations de x\mapsto\ln\left(1+x\right)-x sur \left]-1,0\right]. On peut aussi éviter tout calcul : x\mapsto\ln\left(1+x\right) est concave (dérivée seconde négative) donc son graphe est situé en-dessous de sa tangente en \left(0,0\right).

Ajoutons que pour x\in\left]-1,0\right], l’autre inégalité est renversée :

    \[\forall\in\left]-1,0\right],\thinspace\ln\left(1+x\right)\leqslant x-\frac{x^{2}}{2}\]

ce qui améliore substantiellement \ln\left(1+x\right)\leqslant x
pour ces valeurs de x.

Remarque

L’encadrement de \ln\left(1+x\right) obtenu plus haut peut encore être raffiné :

    \[\forall x>0,\thinspace x-\frac{x^{2}}{2}<\ln\left(1+x\right)<x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}\]

ce qui peut servir à des calculs de limite. Par exemple :

    \[\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln\left(1+x\right)-x}{x^{2}}=-\frac{1}{2}\]

Exercice 10

Montrer que :

    \[\forall x\in\left[0,\pi\right],\thinspace\pi\sin\left(x\right)\geqslant x\left(\pi-x\right)\]

Solution proposée –

Posons, pour tout x\in\left[0,\pi\right] :

    \[f\left(x\right)=\pi x-x^{2}-\pi\sin\left(x\right)\]

Alors :

    \begin{eqnarray*}f'\left(x\right) & = & \pi-2x-\pi\cos\left(x\right)\\ & = & \pi\left(1-\frac{2x}{\pi}-\cos\left(x\right)\right) \end{eqnarray*}

Or, \cos est concave sur \left[0,\frac{\pi}{2}\right], donc son graphe est situé au-dessus de la corde d’équation y=1-\frac{2x}{\pi}. Et par convexité de \cos sur \left[\frac{\pi}{2},1\right], son graphe se retrouve en-dessous de cette même corde :

Ceci prouve que f'\left(x\right)\leqslant0 pour x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] et f'\left(x\right)\geqslant0 pour x\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]. Ainsi, f décroît sur \left[0,\frac{\pi}{2}\right] puis croît sur \left[\frac{\pi}{2},\pi\right]. Et comme f\left(0\right)=f\left(\pi\right)=0, on peut conclure que f\left(x\right)\leqslant0 pour tout x\in\left[0,\pi\right], comme souhaité.


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