Neuf énoncés d’exercices sur les suites numériques (fiche 02).
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Que peut-on dire d’une suite réelle croissante et périodique ?
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Etant donné on définit une suite
en posant :
![Rendered by QuickLaTeX.com x_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ed2eb8c22be826d2b0bdc9677124fa0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01612222380fd239317de1413ada12dd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a44d662e2fcd865f31268b1147c8a4be_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-431d7a548772d96d336477f685178842_l3.png)
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Soit Etudier la nature (convergence ou divergence) de la suite définie par :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
On se donne deux réels tels que
.
On définit deux suites réelles et
en posant
et :
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f47c0ca630daa11f8093aacc5791a58d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c508cbb49f0d79a33861472c00cdf54d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com L](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e63141d3215cbc15ee94caf532ad216d_l3.png)
Exprimer en fonction de
et de
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Etant donné un réel on définit un couple
de suites en posant, pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2bf3cb2c098c7df2d72eb765a80260a1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com s](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2de2f58c7b5368371c5ab418ed8bc06_l3.png)
On rappelle que, si on note
(resp.
la partie entière par défaut (resp. par excès) de
Si ces notations ne sont pas claires, se reporter au lexique.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Soit une application continue et soit
On définit une suite en posant :
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Mêmes notations qu’à l’exercice précédent, à ceci près que .
Soit l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite
Montrer que :
On rappelle que, si est non vide et si
alors par définition :
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96ad95c746b4f9879379df16f5f1b064_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2c00cacd6762188f63a6b0087f13a39_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite de terme général :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Montrer que de toute suite réelle, on peut extraire une sous-suite monotone. En déduire une preuve courte du théorème de Bolzano-Weierstrass (de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente).
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