Solutions détaillées de neuf exercices sur les suites numériques (fiche 02).
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![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Soit une suite réelle croissante et
périodique (avec
et soient
tels que
D’une part : D’autre part, il existe
tel que
et donc
Ainsi : En conclusion, toute suite réelle croissante et périodique est nécessairement constante (et même conclusion pour une suite décroissante et périodique : il suffit d’appliquer ce qui précède à la suite opposée).
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
On montre par récurrence que, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com n=0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b4914e41eb3cd69607d16ba721f4dc07_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N};](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-420f01043f3e3781808bf515528eb52f_l3.png)
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Si cette suite converge, sa limite doit vérifier
et donc
Pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com u](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb72f69723b4beb1544f9ddf4dc77b2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a\neq\frac{1}{2}).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4b8c4513a15f7a4e72ad21f3bcced2d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a=u_{0}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7842a7a96697fd3c2cf46e49e7ff9d62_l3.png)
- Si
la suite
est majorée par
(récurrence immédiate) donc converge (vers
d’après ce qui a été dit plus haut).
- Si
la suite
est constante !
- Enfin, si
la suite
n’est pas majorée, car sinon elle convergerait et sa limite
vérifierait
ce qui n’est pas possible. Elle est ainsi croissante et non majorée, donc diverge vers
Illustration dynamique
On voit ci-dessous les graphes de et de
, ainsi qu’une ligne polygonale montrant le calcul des premiers termes de la suite
. En déplaçant le curseur latéralement tout en pressant la touche SHIFT, on fait varier la valeur de
, c’est-à-dire de
.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Tout d’abord, les deux suites sont bien définies et à termes strictement positifs. Ensuite, on observe que et que, pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com u_{n}\neq v_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df8ed939c82d2f156c9e56534050c5fe_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n=0),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3fbc2e846345daa7475c1bd61d78487_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u_{n+1}\neq v_{n+1}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9630184e6851e81ff7f10efd270e5d5d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40c78fca23fcd2c6858fe61d5e522aaa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb72f69723b4beb1544f9ddf4dc77b2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com v](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b9fc631b01405b09d4e5b0aa9252a03_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb72f69723b4beb1544f9ddf4dc77b2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com v_{0},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b28df39612c0a197aea2332fb3dcea9e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a3aa0bbfb0b869dcbed6b3cd9e7b7e4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com v](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b9fc631b01405b09d4e5b0aa9252a03_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u_{0},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ebcf5aae59a96c1802276472ab6e2297_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \beta.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab74046340d6fe922477f5377ba1062c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+v_{n}\right)},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e330491735ea705aec5e4e62cb910529_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha=\beta.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16f3b3ce077b803a101cc6be4987c6b0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40c78fca23fcd2c6858fe61d5e522aaa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(u_{n}v_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e350cbdfa4de996989786a570e07393_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha^{2}=ab,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f93ba48e29bf300b79fb3a4df78be4e0_l3.png)
Remarque
Il est intéressant de noter que, pour tout
(resp.
est la moyenne arithmétique (resp. harmonique) de
et
Les deux suites convergent vers une limite commune : la moyenne géométrique des deux termes initiaux.
Pour préciser ces histoires de moyennes, on pourra consulter le lexique
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Vérifions que la suite est croissante et converge vers
et que la suite
est décroissante et converge aussi vers
Pour tout
:
()
![Rendered by QuickLaTeX.com 10^{-n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0bbafb2399b148d816a30ad40ebf25bd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2bf3cb2c098c7df2d72eb765a80260a1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3b7e89ad205c99867c514e1c0757d27_l3.png)
Par ailleurs, en multipliant par l’inégalité de gauche dans
:
![Rendered by QuickLaTeX.com r_{n}\leqslant r_{n+1},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-abd623235b1128eb0ec026ec27b03175_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 10^{-\left(n+1\right)}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47d2a9d90ff92d0793efa77ba1e1f754_l3.png)
Ceci montre que la suite est croissante. La démarche est analogue pour la suite
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Supposons que n’admette aucun point fixe, c’est-à-dire que l’application
ne s’annule pas. Etant continue,
doit être de signe constant, ce qui entraîne que
est de signe constant. Ainsi, la suite
est monotone. On a prouvé par contraposition que si cette suite n’est pas monotone, alors
possède au moins un point fixe.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Par l’absurde. Supposons que la suite de terme général ne converge pas vers
Il existe alors tel que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e6c2863c0aa79e5f523ad36b4006332_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall n\in\mathbb{N},\thinspace d\left(x_{\varphi\left(n\right)},K\right)>\epsilon.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c5e6cff1f8ea57ad341a25e40b7c64e_l3.png)
Le théorème de Bolzano-Weierstrass permet d’extraire de une sous-suite convergente
de limite
En passant à la limite dans l’inégalité
![Rendered by QuickLaTeX.com x\mapsto d\left(x,K\right),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79a253fd37f3d4e4d8363fa7c38bcde0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com d\left(a,K\right)\neq0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-947c7fc672aa62913edaed7014b08d7d_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Dans ce qui suit, on notera la partie fractionnaire d’un réel
La suite de terme général est à valeurs dans
donc l’ensemble
de ses valeurs d’adhérence est contenu dans
Si l’on montre que
cela permettra de conclure que
Considérons donc
L’idée de base est que si alors
mais il n’est pas question d’écrire
car l’application
n’est pas à valeurs entières ! Qu’à cela ne tienne …
Posons pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com \sqrt{n^{2}+2\lambda n-1}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f6da177f5042ac07c2e01af0b46d068_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\varphi\left(n\right)\right)_{n\geqslant0}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1dfcb85b6d92500b44b510da6bcaa09_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com +\infty,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a53bb179967a04568418dc2e3cf4a6ad_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\varphi\circ\psi\left(n\right)\right)_{n\geqslant0}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8fcb1e1e1f755467d8433a20a4d0077a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(u_{\varphi\circ\psi\left(n\right)}\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc00facf459c9e7fd7db7b3ddd382efb_l3.png)
- est extraite de
donc converge vers
- est extraite de
ce qui prouve que
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Soit une suite réelle quelconque. Considérons l’ensemble :
![Rendered by QuickLaTeX.com P](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6679074dadeda754275442cb734b0c3e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k_0<k_1<\cdots](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-816fb49df5905a1d77e5d1e10710b23d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(x_{k_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91fee4e9f4efec41c33053c2a463bdcd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k>N](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66e08ceb2bbca01ceea50a8bef844ba7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n>k](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4a7678b15e781252f655179f89589bd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_n<x_k](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0d7de78001c47c237b27233a8e743f7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k_0=N+1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d8fd3c08e9606180a946593256c5031_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k_1=\min\{n>k_0;\,x_n<x_{k_0}\}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d40fa460db9d810f907b110422d0fa8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p\in\mathbb{N}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4f82e928b2aef7b596e1ff9989a7a83_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k_0<\cdots<k_p](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c5d73a7b4a245e0dc34f8fbe231baeb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_{k_0}>x_{k_1}>\cdots>x_{k_p},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4777e9ba831429337b0fc042e2a7ed12_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k_{p+1}=\min\left\{ n>k_{p};\thinspace x_{n}<x_{k_{p}}\right\} .](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45ee8809f8483b15d741efea8f5ea733_l3.png)
On construit ainsi, par récurrence, une suite extraite strictement décroissante.
Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.