Solutions détaillées de neuf exercices sur les suites numériques (fiche 02).
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exercice 1 facile

Soit u une suite réelle croissante et p-périodique (avec p\geqslant1) et soient m,n\in\mathbb{N} tels que m<n.

D’une part : u_{m}\leqslant u_{n}. D’autre part, il existe k\geqslant1 tel que n<m+kp et donc u_{n}\leqslant u_{m+kp}=u_{m}.

Ainsi : u_{m}=u_{n}. En conclusion, toute suite réelle croissante et périodique est nécessairement constante (et même conclusion pour une suite décroissante et périodique : il suffit d’appliquer ce qui précède à la suite opposée).

exercice 2 facile

On montre par récurrence que, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[\boxed{x_{n}=\sin^{2}\left(2^{n}\theta\right)}\]

Cette égalité est vraie par hypothèse pour n=0. Supposons-la vraie pour un certain n\in\mathbb{N}; alors :

    \begin{eqnarray*}x_{n+1} & = & 4\sin^{2}\left(2^{n}\theta\right)\left(1-\sin^{2}\left(2^{n}\theta\right)\right)\\& = & \left(2\sin\left(2^{n}\theta\right)\cos\left(2^{n}\theta\right)\right)^{2}\\& = & \sin^{2}\left(2^{n+1}\theta\right)\end{eqnarray*}

comme souhaité.

exercice 3 facile

Si cette suite converge, sa limite \ell doit vérifier \ell^{2}-\ell+\frac{1}{4}=0 et donc \ell=\frac{1}{2}. Pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[u_{n+1}-u_{n}=u_{n}^{2}-u_{n}+\frac{1}{4}=\left(u_{n}-\frac{1}{2}\right)^{2}\geqslant0\]

La suite u est donc croissante (strictement ssi a\neq\frac{1}{2}). Notons a=u_{0} et distinguons plusieurs cas :

  1. Si 0\leqslant a<\frac{1}{2}, la suite u est majorée par \frac{1}{2} (récurrence immédiate) donc converge (vers \frac{1}{2} d’après ce qui a été dit plus haut).
  2. Si a=\frac{1}{2}, la suite u est constante !
  3. Enfin, si a>\frac{1}{2}, la suite u n’est pas majorée, car sinon elle convergerait et sa limite \ell vérifierait \ell>\frac{1}{2}, ce qui n’est pas possible. Elle est ainsi croissante et non majorée, donc diverge vers +\infty.

Illustration dynamique

On voit ci-dessous les graphes de x\mapsto x^2+\frac14 et de x\mapsto x, ainsi qu’une ligne polygonale montrant le calcul des premiers termes de la suite (x_n)_{n\geqslant0}. En déplaçant le curseur latéralement tout en pressant la touche SHIFT, on fait varier la valeur de s, c’est-à-dire de x_0.

Tout d’abord, les deux suites sont bien définies et à termes strictement positifs. Ensuite, on observe que u_{0}-v_{0}=a-b>0 et que, pour tout n\in\mathbb{N}:

    \begin{eqnarray*}u_{n+1}-v_{n+1} & = & \frac{u_{n}+v_{n}}{2}-\frac{2u_{n}v_{n}}{u_{n}+v_{n}}\\& = & \frac{\left(u_{n}-v_{n}\right)^{2}}{2\left(u_{n}+v_{n}\right)}\geqslant0\end{eqnarray*}

Ainsi :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}\geqslant v_{n}\]

Ajoutons que, si l’on suppose u_{n}\neq v_{n} (ce qui est le cas pour n=0), alors le calcul ci-dessus montre que u_{n+1}\neq v_{n+1}. On peut donc affirmer que :

    \[\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}>v_{n}}\]

Ensuite, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+v_{n}\right)-u_{n}=\frac{1}{2}\left(v_{n}-u_{n}\right)\leqslant0\]

et :

    \[\frac{v_{n+1}}{v_{n}}=\frac{2u_{n}}{u_{n}+v_{n}}\geqslant1\]

Ceci montre que u est décroissante et que v est croissante. Comme u est décroissante et minorée par v_{0}, elle converge vers un réel \alpha. De même, v est croissante et majorée par u_{0}, donc converge vers un réel \beta. En passant à la limite dans l’égalité {\displaystyle u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+v_{n}\right)}, on obtient \alpha=\beta. Enfin, on constate que pour tout n\in\mathbb{N} :

    \begin{eqnarray*}u_{n+1}v_{n+1} & = & \frac{u_{n}+v_{n}}{2}\,\frac{2u_{n}v_{n}}{u_{n}+v_{n}}\\& = & u_{n}v_{n}\end{eqnarray*}

La suite \left(u_{n}v_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} est donc constante :

    \[ \forall n\in\mathbb{N},\,u_{n}v_{n}=ab\]

En passant à la limite dans cette dernière égalité, on obtient \alpha^{2}=ab, d’où finalement :

    \[\boxed{\alpha=\sqrt{ab}}\]

Remarque

Il est intéressant de noter que, pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1} (resp. v_{n+1}) est la moyenne arithmétique (resp. harmonique) de u_{n} et v_{n}. Les deux suites convergent vers une limite commune : la moyenne géométrique des deux termes initiaux.

Pour préciser ces histoires de moyennes, on pourra consulter le lexique

Vérifions que la suite r est croissante et converge vers x, et que la suite s est décroissante et converge aussi vers x. Pour tout n\in\mathbb{N} :

(\star)   \[\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant10^{n}x<\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor +1\]

donc, après multiplication par 10^{-n} :

    \[r_{n}\leqslant x<r_{n}+10^{-n}\]

Autrement dit :

    \[0\leqslant x-r_{n}<10^{-n}\]

Ceci prouve que la suite r converge vers x.

Par ailleurs, en multipliant par 10 l’inégalité de gauche dans \left(\star\right) :

    \[10\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant10^{n+1}x\]

donc, vu que le membre de gauche est entier :

    \[10\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant\left\lfloor 10^{n+1}x\right\rfloor\]

et donc r_{n}\leqslant r_{n+1}, après multiplication par 10^{-\left(n+1\right)}.

Ceci montre que la suite r est croissante. La démarche est analogue pour la suite s.

Supposons que f n’admette aucun point fixe, c’est-à-dire que l’application g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto f\left(x\right)-x ne s’annule pas. Etant continue, g doit être de signe constant, ce qui entraîne que x_{n+1}-x_{n} est de signe constant. Ainsi, la suite \left(x_{n}\right)_{n\geqslant0} est monotone. On a prouvé par contraposition que si cette suite n’est pas monotone, alors f possède au moins un point fixe.

Par l’absurde. Supposons que la suite de terme général d\left(x_{n},K\right) ne converge pas vers 0.

Il existe alors \epsilon>0 tel que :

    \[\forall N\in\mathbb{N},\thinspace\exists n\geqslant N;\thinspace d\left(x_{n},K\right)>\epsilon\]

On peut donc construite une suite extraite \left(x_{\varphi\left(n\right)}\right) telle que \forall n\in\mathbb{N},\thinspace d\left(x_{\varphi\left(n\right)},K\right)>\epsilon.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass permet d’extraire de \left(x_{\varphi\left(n\right)}\right) une sous-suite convergente \left(x_{\varphi\circ\psi\left(n\right)}\right), de limite a\in K. En passant à la limite dans l’inégalité

    \[d\left(x_{\varphi\circ\psi\left(n\right)},K\right)\geqslant\epsilon\]

et par continuité de x\mapsto d\left(x,K\right), il vient :

    \[d\left(a,K\right)\geqslant\epsilon\]

En particulier, d\left(a,K\right)\neq0 ce qui est absurde.

Dans ce qui suit, on notera \left\{ X\right\} la partie fractionnaire d’un réel X.

La suite de terme général u_{n}=\left\{ \sqrt{n}\right\} est à valeurs dans \left[0,1\right[, donc l’ensemble K de ses valeurs d’adhérence est contenu dans \left[0,1\right]. Si l’on montre que \left[0,1\right[\subset K, cela permettra de conclure que K=\left[0,1\right]. Considérons donc \lambda\in\left[0,1\right[.

L’idée de base est que si f\left(n\right)=\left(n+\lambda\right)^{2} alors \left\{ \sqrt{\left(n+\lambda\right)^{2}}\right\} =\lambda, mais il n’est pas question d’écrire u_{f\left(n\right)}=\lambda, car l’application f n’est pas à valeurs entières ! Qu’à cela ne tienne …

Posons pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[\varphi\left(n\right)=n^{2}+\left\lfloor 2\lambda n\right\rfloor\]

Un DL à l’ordre 1 montre que :

    \[\sqrt{n^{2}+2\lambda n}=n+\lambda+o\left(1\right)\]

et même chose pour \sqrt{n^{2}+2\lambda n-1}. Or :

    \[\sqrt{n^{2}+2\lambda n-1}<\sqrt{n^{2}+\left\lfloor 2\lambda n\right\rfloor }\leqslant\sqrt{n^{2}+2\lambda n}\]

et donc :

    \[u_{\varphi\left(n\right)}=\left\{ \sqrt{n^{2}+\left\lfloor 2\lambda n\right\rfloor }\right\} =\lambda+o\left(1\right)\]

Comme la suite \left(\varphi\left(n\right)\right)_{n\geqslant0} diverge vers +\infty, on peut en extraire une suite \left(\varphi\circ\psi\left(n\right)\right)_{n\geqslant0} strictement croissante, moyennant quoi la suite \left(u_{\varphi\circ\psi\left(n\right)}\right) :

  • est extraite de \left(u_{\varphi\left(n\right)}\right) donc converge vers \lambda
  • est extraite de u

ce qui prouve que \lambda\in K.

exercice 9 difficile

Soit x une suite réelle quelconque. Considérons l’ensemble :

    \[P=\left\{ k\in\mathbb{N};\thinspace\forall n>k,\thinspace x_{n}\geqslant x_{k}\right\}\]

Si P est infini, on peut énumérer ses éléments k_0<k_1<\cdots et la suite \left(x_{k_n}\right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante par construction. Dans le cas contraire, notons :

    \[ N=\left\{ \begin{array}{cc} \max\left(P\right) & \text{si }P\neq\emptyset\\ -1 & \text{sinon} \end{array}\right. \]

Pour tout k>N il existe n>k tel que x_n<x_k. Posons k_0=N+1 puis k_1=\min\{n>k_0;\,x_n<x_{k_0}\}. En supposant avoir construit, pour un certain p\in\mathbb{N}, des entiers k_0<\cdots<k_p tels que x_{k_0}>x_{k_1}>\cdots>x_{k_p}, on pose k_{p+1}=\min\left\{ n>k_{p};\thinspace x_{n}<x_{k_{p}}\right\} .

On construit ainsi, par récurrence, une suite extraite \left(x_{k_{n}}\right)_{n\in\mathbb{N}} strictement décroissante.


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