Indications pour démarrer les exercices sur les suites numériques (fiche 02).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

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exercice 1 facile

Une telle suite doit être constante. Tâchez de le prouver rigoureusement … ce n’est pas très difficile.

exercice 2 facile

Pensez à la formule de duplication du sinus : \sin\left(2\theta\right)=\cdots

Faites un dessin … ou mieux : utiliser le programme Live-Iteration pour vous faire une idée !

Pour commencer, examinez le signe de x_{n}-y_{n}, puis étudier le sens de variation de chacune des deux suites.

L’encadrement \left\lfloor a\right\rfloor \leqslant a<\left\lfloor a\right\rfloor +1, valable pour tout a\in\mathbb{R}, doit permettre de montrer que 0\leqslant x-r_{n}<10^{-n} pour tout n\in\mathbb{N}.

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour traiter l’implication contraposée.

En supposant le contraire, on peut construire une suite extraite \left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}} telle que :

    \[ \forall n\in\mathbb{N},\thinspace d\left(x_{\varphi\left(n\right)},K\right)>\epsilon\]

pour un certain \epsilon>0. Et bien entendu, la suite \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}est bornée, donc …

Comme cette suite est à termes dans \left[0,1\right[, on sait déjà que l’ensemble de ses valeurs d’adhérence est inclus dans \left[0,1\right] (pourquoi ?).

On peut établir l’inclusion réciproque, en se donnant \lambda\in\left[0,1\right] et en construisant explicitement une suite extraite qui converge vers \lambda.

exercice 9 difficile

Etant donnée une suite réelle \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}, considérer l’ensemble :

    \[ P=\left\{ k\in\mathbb{N};\thinspace\forall n>k,\thinspace x_{n}\geqslant x_{k}\right\}\]

et distinguer deux cas selon que P est fini ou infini.

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