Exercices sur les suites numériques – 02

Neuf énoncés d’exercices sur les suites numériques (fiche 02).

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exercice 1 facile

Que peut-on dire d’une suite réelle croissante et périodique ?

exercice 2 facile

Etant donné \theta\in\left[0,1\right], on définit une suite \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} en posant :

    \[ x_{0}=\sin^{2}\left(\theta\right)\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n+1}=4x_{n}\left(1-x_{n}\right)\]

Calculer x_{n} pour tout n\in\mathbb{N}, en fonction de n et de \theta.

exercice 3 facile

Soit s\in\mathbb{R}^+. Etudier la nature (convergence ou divergence) de la suite définie par :

    \[u_{0}=s\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n+1}=u_{n}^{2}+\frac{1}{4}\]

On se donne deux réels a,b tels que 0<b<a.

On définit deux suites réelles x et y en posant x_{0}=a, y_{0}=b et :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc}x_{n+1} & = & \dfrac{x_{n}+y_{n}}{2}\\\\y_{n+1} & = & \dfrac{2x_{n}y_{n}}{x_{n}+y_{n}}\end{array}\right.\]

Montrer que les suites x et y convergent vers une limite commune L.

Exprimer L en fonction de a et de b.

Etant donné un réel x, on définit un couple \left(r,s\right) de suites en posant, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[r_{n}=10^{-n}\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \qquad\text{et}\qquad s_{n}=10^{-n}\left\lceil 10^{n}x\right\rceil\]

Montrer que r et s convergent vers une même limite.

On rappelle que, si \lambda\in\mathbb{R}, on note \left\lfloor \lambda\right\rfloor (resp. \left\lceil \lambda\right\rceil ) la partie entière par défaut (resp. par excès) de \lambda.

Si ces notations ne sont pas claires, se reporter au lexique.

Soit f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} une application continue et soit s\in\mathbb{R}.

On définit une suite \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} en posant :

    \[x_{0}=s\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)\]

On suppose cette suite non monotone. Montrer que f possède au moins un point fixe.

Mêmes notations qu’à l’exercice précédent, à ceci près que f:[0,1]\to[0,1].

Soit K l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}. Montrer que :

    \[ \lim_{n\rightarrow\infty}d\left(x_{n},K\right)=0\]

On rappelle que, si A\subset\mathbb{R} est non vide et si t\in\mathbb{R}, alors par définition :

    \[d\left(t,A\right)=\inf\left\{ \left|t-a\right|;\thinspace t\in A\right\}\]

C’est la distance de t à A. Si nécessaire, consulter le lexique.

Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite de terme général :

    \[u_{n}=\sqrt{n}-\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor\]

Montrer que de toute suite réelle, on peut extraire une sous-suite monotone. En déduire une preuve courte du théorème de Bolzano-Weierstrass (de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente).

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