Exercices sur les séries numériques – 01

icone-math-OS-Exos
exercice 1 facile

Soit \left(a_{n}\right)_{n\geqslant1} une suite réelle telle que la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}a_{n}^{2}} converge.

Etudier la nature de la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\frac{a_{n}}{n}}.

exercice 2 facile

Soit \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} une suite de réels strictement positifs.

Montrer que les séries {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}a_{n}} et {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}\frac{a_{n}}{1+a_{n}}} sont de même nature.

exercice 3 facile

Vrai ou Faux ?

Etant données trois suites réelles \left(a_{n}\right)_{n\geqslant0}, \left(b_{n}\right)_{n\geqslant0} et \left(c_{n}\right)_{n\geqslant0} vérifiant

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace a{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}\]

si les séries {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}a_{n}} et {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}c_{n}} convergent, alors la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}b_{n}} converge aussi.

Déterminer la nature de la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant2}\frac{1}{\ln\left(n\right)^{\ln\left(n\right)}}.}

En observant que, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[ \frac{1}{n\thinspace2^{n}}=\int_{0}^{1/2}t^{n-1}\thinspace dt\]

prouver que la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n\thinspace2^{n}}} converge et admet \ln\left(2\right) pour somme.

En exploitant les calculs de l’exercice précédent et en rédigeant un (tout petit) programme informatique, trouver une valeur approchée de \ln\left(2\right) à 10^{-7} près.

Soit \left(a_{n}\right)_{n\geqslant1} une suite de réels strictement positifs.
On suppose que :

    \[\lim_{n\rightarrow+\infty}\,\frac{\ln\left(\frac{1}{a_{n}}\right)}{\ln\left(n\right)}=\alpha\]

Montrer que si \alpha\neq1, alors la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\,a_{n}} et la série de Riemann {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\,\frac{1}{n^{\alpha}}} sont de même nature.

Que peut-on dire si \alpha=1 ?

Calculer explicitement {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(3n\right)!}}

exercice 9 difficile

Montrer que la série \displaystyle{\sum_{n\geqslant1}\int_{0}^{1}\left(1-\left(1-t^{n}\right)^{1/n}\right)\thinspace dt} est convergente.


Cliquer ici pour accéder aux indications
Cliquer ici pour accéder aux solutions

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  

Cet article a 1 commentaire

  1. bon chemin; après series doubles et un bon expose sur les familles sommables
    merci

Laisser un commentaire

Fermer le menu