Exercices sur la factorielle - 01

Exercices sur la factorielle – 01

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:6 juillet 2019
Post category:Exercices

Neuf énoncés d’exercices sur la factorielle (fiche 01).

Calculer plus simplement la somme :

$A_{n}=\sum_{k=1}^{n}k\thinspace k!$

⇨ Pour vous « refaire une santé » sur les manipulations de somme, consultez cet article.

⇨ Pour réviser le concept de factorielle d’un entier naturel, les points d’entrée sont cet article de vulgarisation et cet article de niveau supérieur.

Dans la fraction suivante, le numérateur est le produit des $n$ premiers nombres impairs, et le dénominateur est le produit des $n$ premiers nombres pairs :

$Q_{n}=\frac{1\times3\times5\times\cdots\times\left(2n-1\right)}{2\times4\times6\times\cdots\times\left(2n\right)}\qquad\left(n\in\mathbb{N}^{\star}\right)$

Exprimer $Q_{n}$ d’une manière plus « compacte », au moyen de factorielles.

Quels sont les entiers naturels $n\leqslant100$ pour lesquels le nombre de chiffres décimaux de $n!$ est précisément égal à $n$ ? Prouver qu’il n’existe aucun entier $n>100$ vérifiant cette condition.

Soient $a,b$ des réels strictement positifs. Montrer que la suite de terme général :

$x_{n}=\frac{a^{n}}{\left(n!\right)^{b}}$

converge et préciser sa limite.

Etablir, pour tout $n\in\mathbb{N},$ l’inégalité :

$n!\geqslant e^{-n}\left(n+1\right)^{n}$

Pour tout $x>-1,$ on pose :

$f\left(x\right)=\int_{0}^{+\infty}t^{x}e^{-t}\thinspace dt$

Après avoir établi la convergence de cette intégrale, calculer $f\left(n\right)$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$

Résoudre dans $\mathbb{N}^{4}$ l’équation :

$x!+y!+z!=t!$

L’égalité suivante est vraie :

$\frac{28}{17}=\frac{\left(2!\right)^{4}\times\left(7!\right)^{2}\times13!}{\left(3!\right)^{2}\times5!\times17!}$

Montrer, plus généralement, que tout rationnel strictement positif peut s’écrire comme un produit de factorielles de nombres premiers ou comme le quotient de deux tels produits.

Montrer que tout entier $A\in\mathbb{N}^{\star}$ peut s’écrire de façon unique sous la forme :

$A=\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}\,k!$

avec les conditions :

$n\in\mathbb{N}^{\star}$
$0\leqslant a_{k}\leqslant k$ pour tout $k\in\llbracket1,n\rrbracket$
$a_{n}\neq0$

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Étiquettes : croissances comparées, décomposition, exercices, factorielle, fraction, limite, Math-OS, MP*, MPSI, nombre rationnel, produit, puissance, Python, somme, suite convergente, terminale S

Cet article a 16 commentaires

joseph cesana 25 Juil 2019 Répondre

Desole’ pour le precedent commentaire. En fait si r_n (n-i)!, on continue ainsi jusqu’a` ce que la derniere division euclienne ait un reste nul comme indique’ dans la solution.
joseph cesana 25 Juil 2019 Répondre

A propos de l’exercice #9:

On effectue les division euclidiennes suivantes:
A = n! * a_n + r_n
r_n = (n-1)! * a_n-1 + r_n-1
et ainsi de suite.
Mais comment prouve t’on que r_n est superieur a` (n-1)! ?
que r_n-1 > (n-2)! etc.
1. René Adad 25 Juil 2019 Répondre
  
  Pour diviser un entier $a\geqslant0$ par un entier $b>0$ , on n’a pas besoin de supposer $a\geqslant b$ .
  Si tel n’est pas le cas, le quotient sera simplement nul (et le reste égal à $a$ ).
Joseph Cesana 23 Juil 2019 Répondre

A propos de l’exercice #8:
« tout k dans {2,…, q-1} est un produit de nombres premiers p. Par consequent q-1 = 2*q’ . Comment prouve t’on alors que q’ <= p et par consequent tous les sous-multiples de q' aussi <= p.

Est ce demontre' dans la litterature? Que se passe t'il pour les premiers tres grands? Est ce toujours le cas?

– joseph
1. René Adad 24 Juil 2019 Répondre
  
  Dans la solution proposée, on définit $q$ comme le plus petit nombre premier $> p$ . Evidemment, $q-1$ est pair donc de la forme $2q'$ . Attention, $q'$ n’a aucune raison d’être premier, mais cet entier est produit de nombres premiers $p_1$ , … $p_r$ avec $r\geqslant1$ . Chacun des $p_i$ est $<q$ et donc $\leqslant p$ en raison de la définition de $q$ . Je ne vois pas de difficulté ici. Et l’on peut donc, si l’on veut, appliquer l’hypothèse de récurrence à chacun des $p_i$ mais cela donnera une décomposition (en produit de factorielles de nombres premiers ou en quotient de tels produits) pour $q-1$ et non pas pour $q$ … à moins que vous ne cherchiez pas à suivre la solution proposée ? Dans ce cas, merci de préciser.
  1. joseph cesana 24 Juil 2019 Répondre
    
    « Chacun des pi est < q et donc p (de meme (q-1) > p ) et qi < q -1 ou` les qi sont les facteurs premiers de la decomposition de (q-1)/2. Il me semble qu'on ne peut pas conclure a` moins de prouver que l'ecart entre deux nombres premiers consecutifs est toujours plus petit que (q-1)/2 soit que
    (q-1)/2 < p et donc tous les qi < p
    1. René Adad 25 Juil 2019 Répondre
      
      Peut-être n’avez vous pas noté que, dans la solution proposée, $q$ désigne le plus petit nombre premier supérieur à $p$ . Il en résulte inévitablement que les facteurs premiers de $q$ -1 sont inférieurs ou égaux à $p$ puisqu’ils sont strictement inférieurs à $q$ .
      
      Je vous invite, par ailleurs, à placer en tête d’un commentaire le shortcode :
      [ latexpage ]
      
      (sans les espaces) ce qui vous permet ensuite de placer des commandes LaTeX dans le texte.
joseph cesana 13 Juil 2019 Répondre

Autre remarque toujours a` propos de l’exercice #5, la solution qui utilise le developpement en series de l’exponentielle n’est elle pas en fait une inegalite’ strictement superieur?
1. René Adad 13 Juil 2019 Répondre
  
  Oui, comme je l’ai d’ailleurs indiqué en réponse au commentaire précédent, l’inégalité est stricte pour $n$ non nul. On peut aussi voir que, pour $n>0$ , $e^{-n}$ est irrationnel tandis $n!/(n+1)^n$ est rationnel : l’inégalité est donc nécessairement stricte.
  Bien entendu, il n’est pas incorrect d’écrire une égalité large en pareil cas !
joseph cesana 13 Juil 2019 Répondre

Bonjour – A propos de l’exercice #5, en fin de la solution de l’exercice, la premiere inegalite’ ne serait elle pas en fait une egalite’ suivie d’une inegalite’. La conclusion est correcte mais la premiere inegalite’ a` gauche me semble etre une egalite’ base’e sur le developpement en series de l’exponentielle.
1. René Adad 13 Juil 2019 Répondre
  
  Non, il s’agit bien d’une inégalité (qui est d’ailleurs stricte dès que $n\geqslant 1$ ).
  Il s’agirait d’une égalité si la sommation s’étendait jusqu’à l’infini, mais la somme écrite est seulement indexée de 0 à $n$ .
joseph cesana 11 Juil 2019 Répondre

Bonjour, j’ai rec,u une reponse partielle par email, mais le email semble coupe’. Je n’ai pu donc pas voir la suite a` ma question precedente.
– j.c.
joseph cesana 10 Juil 2019 Répondre

Par ailleurs, on sait que pour tout n dans N*, le nombre de chiffres décimaux de n est
Cn = 1 + log(n!)

Qui devrait etre le nombre de chiffres décimaux de n! et non n… faute de frappe?
1. René Adad 10 Juil 2019 Répondre
  
  Non, pas de faute de frappe dans l’indication donnée pour l’exercice 3. La formule $1+\lfloor\log_{10}(n)\rfloor$ donne le nombre de chiffres décimaux de $n$ , pour tout entier $n\geqslant 1$ . Cela dit, comme ceci est vrai pour tout $n$ , on peut l’appliquer à qui on veut… par exemple à la factorielle de $n$ .
2. joseph cesana 11 Juil 2019 Répondre
  
  Bonjour – toujours a` propos de l’exercice #3.
  L’ennonce’ precise de demontrer que tout « n » > 100 ne verifie pas la condition. Lors de la demo, on montre que U(n) est strictement croissante des que n >= 9 puis que pour n >=25, alors C(n) > n et ainsi le nombre de decimaux de n! est des lors toujours plus grand que « n ».
  Je ne vois pas la relation entre le rang = 9, n>=25 et la question de depart « n » >= 100.
  Un peu confus je dois dire.
  Merci d’avance.
  – jc
  1. René Adad 11 Juil 2019 Répondre
    
    La suite u est strictement croissante à partir du rang 9. Par conséquent, si $u_N>1$ pour un certain $N\geqslant 9$ , alors on peut être certain que $u_n>1$ pour tout entier $n\geqslant N$ .
    Comme $u_{25}>1$ , alors $u_n>1$ pour tout $n\geqslant25$ .
    Ceci montre qu’aucun entier $n\geqslant25$ ne convient (et a fortiori qu’aucun entier $n>100$ ne convient !).
    j’espère que c’est plus clair à présent.