Exercices sur la factorielle – 01

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exercice 1 facile

Calculer plus simplement la somme :

    \[A_{n}=\sum_{k=1}^{n}k\thinspace k!\]

⇨ Pour vous “refaire une santé” sur les manipulations de somme, consultez cet article.

⇨ Pour réviser le concept de factorielle d’un entier naturel, les points d’entrée sont cet article de vulgarisation et cet article de niveau supérieur.

exercice 2 facile

Dans la fraction suivante, le numérateur est le produit des n premiers nombres impairs, et le dénominateur est le produit des n premiers nombres pairs :

    \[Q_{n}=\frac{1\times3\times5\times\cdots\times\left(2n-1\right)}{2\times4\times6\times\cdots\times\left(2n\right)}\qquad\left(n\in\mathbb{N}^{\star}\right)\]


Exprimer Q_{n} d’une manière plus “compacte”, au moyen de factorielles.

exercice 3 facile

Quels sont les entiers naturels n\leqslant100 pour lesquels le nombre de chiffres décimaux de n! est précisément égal à n ? Prouver qu’il n’existe aucun entier n>100 vérifiant cette condition.

Soient a,b des réels strictement positifs. Montrer que la suite de terme général :

    \[ x_{n}=\frac{a^{n}}{\left(n!\right)^{b}} \]

converge et préciser sa limite.

Etablir, pour tout n\in\mathbb{N}, l’inégalité :

    \[n!\geqslant e^{-n}\left(n+1\right)^{n}\]

Pour tout x>-1, on pose :

    \[ f\left(x\right)=\int_{0}^{+\infty}t^{x}e^{-t}\thinspace dt \]


Après avoir établi la convergence de cette intégrale, calculer f\left(n\right) pour tout n\in\mathbb{N}.

Résoudre dans \mathbb{N}^{4} l’équation :

    \[x!+y!+z!=t!\]

L’égalité suivante est vraie :

    \[ \frac{28}{17}=\frac{\left(2!\right)^{4}\times\left(7!\right)^{2}\times13!}{\left(3!\right)^{2}\times5!\times17!}\]


Montrer, plus généralement, que tout rationnel strictement positif peut s’écrire comme un produit de factorielles de nombres premiers ou comme le quotient de deux tels produits.

exercice 9 difficile

Montrer que tout entier A\in\mathbb{N}^{\star} peut s’écrire de façon unique sous la forme :

    \[A=\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}\,k!\]


avec les conditions :

  • n\in\mathbb{N}^{\star}
  • 0\leqslant a_{k}\leqslant k pour tout k\in\mathbb{N}_{n}
  • a_{n}\neq0


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Cet article a 16 commentaires

  1. Desole’ pour le precedent commentaire. En fait si r_n (n-i)!, on continue ainsi jusqu’a` ce que la derniere division euclienne ait un reste nul comme indique’ dans la solution.

  2. A propos de l’exercice #9:

    On effectue les division euclidiennes suivantes:
    A = n! * a_n + r_n
    r_n = (n-1)! * a_n-1 + r_n-1
    et ainsi de suite.
    Mais comment prouve t’on que r_n est superieur a` (n-1)! ?
    que r_n-1 > (n-2)! etc.

    1. Pour diviser un entier a\geqslant0 par un entier b>0, on n’a pas besoin de supposer a\geqslant b.
      Si tel n’est pas le cas, le quotient sera simplement nul (et le reste égal à a).

  3. A propos de l’exercice #8:
    “tout k dans {2,…, q-1} est un produit de nombres premiers p. Par consequent q-1 = 2*q’ . Comment prouve t’on alors que q’ <= p et par consequent tous les sous-multiples de q' aussi <= p.

    Est ce demontre' dans la litterature? Que se passe t'il pour les premiers tres grands? Est ce toujours le cas?

    – joseph

    1. Dans la solution proposée, on définit q comme le plus petit nombre premier > p. Evidemment, q-1 est pair donc de la forme 2q'. Attention, q' n’a aucune raison d’être premier, mais cet entier est produit de nombres premiers p_1, … p_r avec r\geqslant1. Chacun des p_i est <q et donc \leqslant p en raison de la définition de q. Je ne vois pas de difficulté ici. Et l’on peut donc, si l’on veut, appliquer l’hypothèse de récurrence à chacun des p_i mais cela donnera une décomposition (en produit de factorielles de nombres premiers ou en quotient de tels produits) pour q-1 et non pas pour q… à moins que vous ne cherchiez pas à suivre la solution proposée ? Dans ce cas, merci de préciser.

      1. “Chacun des pi est < q et donc p (de meme (q-1) > p ) et qi < q -1 ou` les qi sont les facteurs premiers de la decomposition de (q-1)/2. Il me semble qu'on ne peut pas conclure a` moins de prouver que l'ecart entre deux nombres premiers consecutifs est toujours plus petit que (q-1)/2 soit que
        (q-1)/2 < p et donc tous les qi < p

        1. Peut-être n’avez vous pas noté que, dans la solution proposée, $q$ désigne le plus petit nombre premier supérieur à $p$. Il en résulte inévitablement que les facteurs premiers de $q$-1 sont inférieurs ou égaux à $p$ puisqu’ils sont strictement inférieurs à $q$.

          Je vous invite, par ailleurs, à placer en tête d’un commentaire le shortcode :
          [ latexpage ]

          (sans les espaces) ce qui vous permet ensuite de placer des commandes LaTeX dans le texte.

  4. Autre remarque toujours a` propos de l’exercice #5, la solution qui utilise le developpement en series de l’exponentielle n’est elle pas en fait une inegalite’ strictement superieur?

    1. Oui, comme je l’ai d’ailleurs indiqué en réponse au commentaire précédent, l’inégalité est stricte pour n non nul. On peut aussi voir que, pour n>0, e^{-n} est irrationnel tandis n!/(n+1)^n est rationnel : l’inégalité est donc nécessairement stricte.
      Bien entendu, il n’est pas incorrect d’écrire une égalité large en pareil cas !

  5. Bonjour – A propos de l’exercice #5, en fin de la solution de l’exercice, la premiere inegalite’ ne serait elle pas en fait une egalite’ suivie d’une inegalite’. La conclusion est correcte mais la premiere inegalite’ a` gauche me semble etre une egalite’ base’e sur le developpement en series de l’exponentielle.

    1. Non, il s’agit bien d’une inégalité (qui est d’ailleurs stricte dès que n\geqslant 1).
      Il s’agirait d’une égalité si la sommation s’étendait jusqu’à l’infini, mais la somme écrite est seulement indexée de 0 à n.

  6. Bonjour, j’ai rec,u une reponse partielle par email, mais le email semble coupe’. Je n’ai pu donc pas voir la suite a` ma question precedente.
    – j.c.

  7. Par ailleurs, on sait que pour tout n dans N*, le nombre de chiffres décimaux de n est
    Cn = 1 + log(n!)

    Qui devrait etre le nombre de chiffres décimaux de n! et non n… faute de frappe?

    1. Non, pas de faute de frappe dans l’indication donnée pour l’exercice 3. La formule 1+\lfloor\log_{10}(n)\rfloor donne le nombre de chiffres décimaux de n, pour tout entier n\geqslant 1. Cela dit, comme ceci est vrai pour tout n, on peut l’appliquer à qui on veut… par exemple à la factorielle de n.

    2. Bonjour – toujours a` propos de l’exercice #3.
      L’ennonce’ precise de demontrer que tout “n” > 100 ne verifie pas la condition. Lors de la demo, on montre que U(n) est strictement croissante des que n >= 9 puis que pour n >=25, alors C(n) > n et ainsi le nombre de decimaux de n! est des lors toujours plus grand que “n”.
      Je ne vois pas la relation entre le rang = 9, n>=25 et la question de depart “n” >= 100.
      Un peu confus je dois dire.
      Merci d’avance.
      – jc

      1. La suite u est strictement croissante à partir du rang 9. Par conséquent, si u_N>1 pour un certain N\geqslant 9, alors on peut être certain que u_n>1 pour tout entier n\geqslant N.
        Comme u_{25}>1, alors u_n>1 pour tout n\geqslant25.
        Ceci montre qu’aucun entier n\geqslant25 ne convient (et a fortiori qu’aucun entier n>100 ne convient !).
        j’espère que c’est plus clair à présent.

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