![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-1-small.png)
Pour tout :
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-2-small.png)
En multipliant numérateur et dénominateur par le produit des nombres pairs de à
on fait apparaître une factorielle au numérateur :
![Rendered by QuickLaTeX.com 1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5055d24ce747a78789e3bb6d2a8e2c30_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2n-1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81db81e1bb8e026c25acccd6b1715fb6_l3.png)
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Les deux fonctions suivantes calculent respectivement, étant donné un entier positif ou nul la factorielle et le nombre de chiffres décimaux de
:
def fact(n): f = 1 a = n while a > 0: f *= a a -= 1 return f
def nbChiffres(n): if n == 0: return 1 c = 0 a = n while a > 0: c += 1 a //= 10 return c
La fonction suivante affiche, parmi les entiers positifs inférieurs ou égaux à maxi, ceux qui sont égaux au nombre de chiffres de leur factorielle :
def cherche(maxi): for i in range(maxi + 1): if i == nbChiffres(fact(i)): print(i) return
On obtient :
>>> cherche (100) 1 22 23 24
Par ailleurs, on sait que pour tout le nombre de chiffres décimaux de
est :
et que
![Rendered by QuickLaTeX.com \left\lfloor t\right\rfloor >t-1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20368de6ef41170c4bbddaea647ab538_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t\in\mathbb{R}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7307df1bb0bc04058798c3d4aaa4a54a_l3.png)
Une condition suffisante pour que est donc :
Or, en posant
on constate que :
La suite
![Rendered by QuickLaTeX.com u](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb72f69723b4beb1544f9ddf4dc77b2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 9.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72cebfcecfaa7bfd449941a288d61d52_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u_{25}>1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e16367c1dd9ff33d63bea3b6b7a6da9f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall n\geqslant25,\thinspace u_{n}>1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6dfd0ee44f14d7a793d245805ea6fb7d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com c_{n}>n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-33d121c27120ad536cdfec736bf539be_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant25.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9279957f1a95b4bca9697766b4c6d108_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Calculons le quotient de deux termes consécutifs :
Il apparaît que :
et, en particulier, qu’il existe
![Rendered by QuickLaTeX.com N\in\mathbb{N}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97cde58c1f93e7efca63ae16af2c7e49_l3.png)
La suite
![Rendered by QuickLaTeX.com u](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb72f69723b4beb1544f9ddf4dc77b2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4f579734aa9ebde0887e495729badd4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com L](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e63141d3215cbc15ee94caf532ad216d_l3.png)
que
![Rendered by QuickLaTeX.com L=0\times L,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b2258cb127af96800fd429de22c8a715_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com L=0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c09a35949617eb090abebf5227864ab_l3.png)
Bref, on a montré que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Posons, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com u_{0}=1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d27578d98874fbe6bc05ea085c96542_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(u_{n}\right)_{n\geqslant0}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bbf32fd71366a188eb0a75fb1523352a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}^{\star}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bec2a43342e25da8aef3e70f95e615da_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de6b9002a22af3fa6a27a087d8fa6c4b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96ad95c746b4f9879379df16f5f1b064_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 1/n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69a407555ff78b0411348ec8bec31fa6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \ln\left(\frac{u_{n}}{u_{n-1}}\right)\geqslant0},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e357ac06308fedbf10042e4d420f9a3_l3.png)
Autre point de vue, utilisant le développement en série entière de l’exponentielle, ainsi que la formule du binôme :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
L’intégrale est « doublement impropre » : elle présente une singularité en 0 et une autre en
Pour la borne 0, on utilise l’équivalent :
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{0}^{1}\thinspace t^{x}\thinspace dt}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13eb2b00a4eee7382d2e4d8db73ebda2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x>-1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34bd2c135d24f8b0296057412aab8a47_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{0}^{1}t^{x}e^{-t}\thinspace dt}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2daea03921c602cd72bee7fa5edd86d_l3.png)
Pour la borne on observe (avec la propriété des croissances comparées) que :
![Rendered by QuickLaTeX.com t_{0}>1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7908c6a30f27d92d160a79472ff85c21_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{1}^{+\infty}t^{x}e^{-t}\thinspace dt}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-059665145f7ae95b0b0de2ad13e03dc7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x>-1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34bd2c135d24f8b0296057412aab8a47_l3.png)
Maintenant, fixons et choisissons des bornes
et
vérifiant
En intégrant par parties, on obtient :
Après passage à la limite (lorsque et
:
![Rendered by QuickLaTeX.com f\left(n\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71a0e81f73371e778319d80f83c38a5a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N})](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ba327e9ce8f596a4dc38a7ca4bcbf0e_l3.png)
On reconnaît aussitôt la factorielle :
Remarque
Notre fonction est une translatée de la fonction Gamma d’Euler, officiellement définie par :
Pour en savoir plus à ce sujet, voir par exemple ici.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Soit un quadruplet solution. Alors
donc
c’est-à-dire
De même pour
et
et donc :
ou encore
![Rendered by QuickLaTeX.com t\leqslant3](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5392668257593b95b96634c3c7554b6b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(x,y,z\right)\in\left\{ 0,1,2\right\} ^{3}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-246aa35bee070ab27cf25e72e6a3308c_l3.png)
On essaie maintenant toutes ces possibilités. Vue la symétrie des rôles de et puisque
il suffit de tester successivement :
On ne trouve au final qu’une seule solution :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Notons le sous-ensemble de
constitué des produits de factorielles de nombres premiers et des quotients de tels produits.
Il est clair que (considérer le produit vide ou bien, tout simplement :
Par définition, est stable par produit et par quotient.
Montrons que D’évidence
donc
Supposons (hypothèse de récurrence forte) que
contienne tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à
pour un certain
Soit
le plus petit nombre premier supérieur à
Comme :
et vu que :
- tout
est un produit de nombres premiers
qui eux-mêmes appartiennent à
on constate que
Maintenant que l’inclusion est établie, et vu que tout entier
est produit de nombres premiers, on voit que
et finalement (stabilité de
par quotient) que
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Soit Notons :
et effectuons la chaîne de divisions euclidiennes :
Visiblement
![Rendered by QuickLaTeX.com r_{1}=0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76edb65086183f27aa5d4ad37576b0ef_l3.png)
En outre, en convenant que désigne
on voit que pour tout
:
ce qui impose c’est-à-dire :
En sommant toutes les égalités obtenues, on obtient :
En outre, si alors
d’après la toute première égalité, ce qui est absurde. Donc
et l’existence est établie. Passons à l’unicité.
Supposons que et que
et
vérifient :
avec en outre :
Déjà, il est nécessaire qu’on ait En effet, si par exemple
alors :
ce qui contredit
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\diamondsuit\right).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9d4043a504338d7f059b47d4b1fac3e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{k}=b_{k}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3745aae8db79efc8a159e45937fe0f88_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k\in\mathbb{N}_{n}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-819cdd0d66fbb2fbe336aa7e9591dcd5_l3.png)
Si par exemple alors d’une part :
et d’autre part :
ce qui contredit le fait que :
Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.