![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-1-small.png)
Il n’est pas difficile de rendre la sommation télescopique.
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-2-small.png)
Il suffit, pour faire apparaître des factorielles, de « boucher les trous » !
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
On calcule le nombre de chiffres décimaux de par la formule :
Justifier ceci et en déduire que le nombre de chiffres de dépasse strictement
dès que la condition
est remplie.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Examiner le quotient de deux termes consécutifs. En déduire le sens de variation de cette suite.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Une idée consiste à prouver que la suite de terme général :
est croissante. Et comme son premier terme vaut
![Rendered by QuickLaTeX.com 1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de6b9002a22af3fa6a27a087d8fa6c4b_l3.png)
Et si vous connaissez le développement en série entière à l’origine de la fonction exponentielle, ce sera beaucoup plus rapide !
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Pour la convergence de cette intégrale impropre, utiliser les règles usuelles.
Ensuite, intégrer par parties !
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Montrer que si est solution, alors
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Soit l’ensemble des rationnels positifs pouvant s’écrire sous cette forme.
Montrer par récurrence que
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Commencer par considérer : le plus grand entier dont la factorielle n’excède pas
La division euclidienne de
par
doit permettre d’amorcer le processus qui conduira à la décomposition voulue.