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exercice 1 facile

Il n’est pas difficile de rendre la sommation télescopique.

exercice 2 facile

Il suffit, pour faire apparaître des factorielles, de “boucher les trous” !

exercice 3 facile

On calcule le nombre de chiffres décimaux de n\in\mathbb{N}^{\star} par la formule : 1+\left\lfloor \log_{10}\left(n\right)\right\rfloor .

Justifier ceci et en déduire que le nombre de chiffres de n! dépasse strictement n dès que la condition n!>10^{n} est remplie.

Examiner le quotient de deux termes consécutifs. En déduire le sens de variation de cette suite.

Une idée consiste à prouver que la suite de terme général :

    \[u_{n}=\frac{n!\,e^{n}}{\left(n+1\right)^{n}}\]


est croissante. Et comme son premier terme vaut 1, ce sera réglé 🙂

Et si vous connaissez le développement en série entière à l’origine de la fonction exponentielle, ce sera beaucoup plus rapide !

Pour la convergence de cette intégrale impropre, utiliser les règles usuelles.

Ensuite, intégrer par parties !

Montrer que si \left(x,y,z,t\right) est solution, alors t\geqslant\max\left{ x+1,y+1,z+1\right} .

Soit E l’ensemble des rationnels positifs pouvant s’écrire sous cette forme.

Montrer par récurrence que \mathbb{P}\subset E.

exercice 9 difficile

Commencer par considérer n : le plus grand entier dont la factorielle n’excède pas A. La division euclidienne de A par n! doit permettre d’amorcer le processus qui conduira à la décomposition voulue.


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