Indications - Exercices sur la factorielle - 01

Il n’est pas difficile de rendre la sommation télescopique.

Il suffit, pour faire apparaître des factorielles, de « boucher les trous » !

On calcule le nombre de chiffres décimaux de $n\in\mathbb{N}^{\star}$ par la formule : $1+\left\lfloor \log_{10}\left(n\right)\right\rfloor .$

Justifier ceci et en déduire que le nombre de chiffres de $n!$ dépasse strictement $n$ dès que la condition $n!>10^{n}$ est remplie.

Examiner le quotient de deux termes consécutifs. En déduire le sens de variation de cette suite.

Une idée consiste à prouver que la suite de terme général :

$u_{n}=\frac{n!\,e^{n}}{\left(n+1\right)^{n}}$

est croissante. Et comme son premier terme vaut $1,$ ce sera réglé 🙂

Et si vous connaissez le développement en série entière à l’origine de la fonction exponentielle, ce sera beaucoup plus rapide !

Pour la convergence de cette intégrale impropre, utiliser les règles usuelles.

Ensuite, intégrer par parties !

Montrer que si $\left(x,y,z,t\right)$ est solution, alors $t\geqslant\max\left{ x+1,y+1,z+1\right} .$

Soit $E$ l’ensemble des rationnels positifs pouvant s’écrire sous cette forme.

Montrer par récurrence que $\mathbb{P}\subset E.$

Commencer par considérer $n$ : le plus grand entier dont la factorielle n’excède pas $A.$ La division euclidienne de $A$ par $n!$ doit permettre d’amorcer le processus qui conduira à la décomposition voulue.

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