Cosinus intégral et constante d'Euler

L’objet de cet article est d’établir la formule suivante :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\int_{0}^{x}\dfrac{1-\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt=\ln\left(x\right)+\gamma+\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt}$}$

valable pour tout réel $x>0$ et dans laquelle $\gamma$ désigne la constante d’Euler.

Un certain nombre de détails techniques devront être examinés avant de pouvoir établir ce résultat, ce qui sera fait à la section 4.

1 – Existence des deux intégrales

Etant donné $x>0,$ l’application $f:\left]0,x\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto\dfrac{1-\cos\left(t\right)}{t}$ est continue et possède en $0$ une limite finie, qui est nulle. On peut justifier cela en observant que cette fraction est égale, au signe près, au taux d’accroissement du cosinus en $0;$ or :

$\lim_{t\rightarrow0}\dfrac{\cos\left(t\right)-\cos\left(0\right)}{t}=\cos'\left(0\right)=-\sin\left(0\right)=0$

Bref, $f$ est prolongeable en une application continue sur $\left[0,x\right],$ ce qui fait que l’intégrale $\int_{0}^{x}\dfrac{1-\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt$ est, comme on dit, « faussement impropre » pour la borne $0.$

Quant à l’intégrale $\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt,$ elle converge (quoique non absolument), ce qu’on peut voir au moyen d’une intégration par parties. En effet, pour tout $x>0$ et pour tout $A>x$ :

$\int_{x}^{A}\dfrac{\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt=\dfrac{\sin\left(A\right)}{A}-\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}+\int_{x}^{A}\dfrac{\sin\left(t\right)}{t^{2}}\thinspace dt$

Or d’une part $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}=1$ et, d’autre part, l’intégrale $\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin\left(t\right)}{t^{2}}\thinspace dt$ est absolument convergente. Par conséquent, l’intégrale $\int_{x}^{A}\dfrac{\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt$ admet bien une limite finie lorsque $A\rightarrow+\infty.$

Si la notion d’intégrale impropre n’est pas claire, on pourra se reporter à cet article.

2 – Une somme trigonométrique

On aura besoin du petit résultat suivant :

Proposition

Pour tout entier $n\geqslant1$ et pour tout réel $\theta$ non multiple de $\pi$ :

( $\star$ ) $\sum_{k=0}^{n-1}\sin\left(\left(2k+1\right)\theta\right)=\dfrac{1-\cos\left(2n\theta\right)}{2\sin\left(\theta\right)}$

Pour le démontrer, le plus simple consiste à multiplier le membre de gauche par $2\sin\left(\theta\right)$ et utiliser une formule de trigonométrie. On sait que, pour tout couple $\left(a,b\right)$ de nombres réels :

$2\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)=\cos\left(a-b\right)-\cos\left(a+b\right)$

Par conséquent :

$2\sin\left(\theta\right)\sum_{k=0}^{n-1}\sin\left(\left(2k+1\right)\theta\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\left[\cos\left(2k\theta\right)-\cos\left(2\left(k+1\right)\theta\right)\right]$

et donc, par sommation télescopique :

$2\sin\left(\theta\right)\sum_{k=0}^{n-1}\sin\left(\left(2k+1\right)\theta\right)=1-\cos\left(2n\theta\right)$

ce qui donne le résultat annoncé. On peut aussi (moins rapide mais plus naturel …) interpréter le membre de gauche de $\left(\star\right)$ comme la partie imaginaire de :

$\sum_{k=0}^{n-1}e^{i\left(2k+1\right)\theta}$

qui est une somme géométrique de raison $e^{2i\theta}.$

Les calculs correspondants sont laissés au lecteur motivé 🙂

3 – Egalité à une constante près

Posons, pour tout $x>0$ :

$F\left(x\right)=\int_{0}^{x}\dfrac{1-\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt\qquad\text{et}\qquad G\left(x\right)=\ln\left(x\right)+\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt$

Les applications $F$ et $G$ sont dérivables sur $\left]0,+\infty\right[$ et, pour tout $x>0$ :

$F'\left(x\right)-G'\left(x\right)=\dfrac{1-\cos\left(x\right)}{x}-\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{\cos\left(x\right)}{x}\right)=0$

ce qui prouve que $F-G$ est constante. Autrement dit, il existe un nombre réel $K$ tel que :

$\forall x>0,\thinspace F\left(x\right)-G\left(x\right)=K$

Vue la formule annoncée en début d’article, on comprend maintenant que le but du jeu va être de prouver que $K$ n’est autre que la constante d’Euler.

4 – Un découpage astucieux

Afin de déterminer la constante $K,$ on va calculer $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(F\left(x\right)-G\left(x\right)\right).$

En posant la changement de variable $t=2ns,$ on voit que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$\begin{eqnarray*}F\left(n\pi\right) & = & \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1-\cos\left(2ns\right)}{s}\thinspace ds\\& = & \int_{0}^{\pi/2}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{\sin\left(s\right)}\right)\thinspace ds+\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1-\cos\left(2ns\right)}{\sin\left(s\right)}\thinspace ds+\int_{0}^{\pi/2}\left(\dfrac{1}{\sin\left(s\right)}-\dfrac{1}{s}\right)\cos\left(2ns\right)\thinspace ds\end{eqnarray*}$

Notons respectivement $A,$ $B_{n}$ et $C_{n}$ ces trois dernières intégrales. Pour tout $\epsilon\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ :

$\int_{\epsilon}^{\pi/2}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{\sin\left(s\right)}\right)\thinspace ds=\left[\ln\left(s\right)-\ln\left(\tan\left(\dfrac{s}{2}\right)\right)\right]_{\epsilon}^{\pi/2}=\ln\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{\epsilon}\tan\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right)\right)$

donc :

$\boxed{A=\ln\left(\pi\right)-2\ln\left(2\right)}$

Par ailleurs, grâce à ce qui a été expliqué à la section 2 :

$B_{n}=2\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{\pi/2}\sin\left(\left(2k+1\right)s\right)\thinspace ds=2\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{2k+1}$

En introduisant le $n-$ ème nombre harmonique ${\displaystyle H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}},$ et vu que :

$H_{n}=\ln\left(n\right)+\gamma+o\left(1\right)$

on constate que $B_{n}=2\left(H_{2n}-\dfrac{1}{2}H_{n}\right)$ et donc que :

$\boxed{B_{n}=\ln\left(n\right)+2\ln\left(2\right)+\gamma+o\left(1\right)}$

Enfin, le lemme de Riemann-Lebesgue montre que :

$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}C_{n}=0}$

Tout ceci conduit au développement asymptotique :

$F\left(n\pi\right)=\ln\left(n\pi\right)+\gamma+o\left(1\right)$

Et comme :

$G\left(n\pi\right)=\ln\left(n\pi\right)+\int_{n\pi}^{+\infty}\dfrac{\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt=\ln\left(n\pi\right)+o\left(1\right)$

on conclut que $K=\gamma$ . En conclusion :

$\boxed{\forall x>0,\thinspace\int_{0}^{x}\dfrac{1-\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt=\ln\left(x\right)+\gamma+\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt}$

J’espère que cet article vous a plu. Si vous connaissez un nom officiel pour pour cette formule remarquable ou bien des applications significatives, merci de laisser un commentaire ci-dessous ou bien de me joindre en utilisant le formulaire de contact.

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Cet article a 2 commentaires

René Adad 6 Août 2023 Répondre

Bonjour Fabrice, merci pour la référence. J’avais déjà repéré l’article de Gourdon et Sebbah duquel ces formules sont extraites. J’en fais mention vers la fin de cette vidéo : https://youtu.be/bN_0VXEC8vo
Fabrice Lucet 5 Août 2023 Répondre

Bonjour Monsieur,
Merci pour cet article !
Sur ce forum :

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/583251#Comment_583251

on trouve un pdf listant des formules, et l’une d’elle est celle de votre article en remplaçant cos(t) par exp(-t), il est ensuite précisé que cette autre formule est utile pour obtenir des décimales de la constante d’Euler. Je ne réponds pas précisément à votre demande d’application puisqu’il s’agit d’une « formule sœur » qui a une application, mais je n’ai trouvé que cela !

Bien à vous,
Oncle_Junior