Neuf énoncés d’exercices sur la notion de dimension en algèbre linéaire (fiche 01).
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Soient deux entiers naturels non nuls. On considère un
espace vectoriel
de dimension
et deux sous-espaces vectoriels
et
de
de dimensions respectives
et
Prouver l’existence d’un vecteur non nul dans
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-2-small.png)
Soit un
espace vectoriel de dimension 2 et soit
Montrer que la dimension du commutant de
est 2 ou 4. On rappelle que le commutant de
est, par définition :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Montrer qu’il existe une base de exclusivement composée de matrices inversibles.
Noter qu’une question similaire est abordée dans cette vidéo : il existe une base de exclusivement composée de matrices de projecteurs.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Etant donné , on note
l’ensemble des applications continues de
dans
, dont la restriction à chaque segment
(pour
) est affine.
Calculer .
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Soit une application continue (
désigne un intervalle non trivial).
On note l’espace vectoriel des applications
dérivables et telles que :
Quelle est la dimension de ?
Soit maintenant l’espace vectoriel des applications
dérivables, telles que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \dim\left(F\right).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e26ceac4d27fb37dbdb00c5145037d9b_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-6-small.png)
Soit un
espace vectoriel de dimension
.
On considère un couple d’endomorphismes de
On note :
Montrer que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Soit un
espace vectoriel de dimension
et soit
une famille libre de vecteurs de
On note
l’ensemble des formes linéaires
telles que
Montrer que est un
espace vectoriel et calculer
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
On considère un espace vectoriel
de dimension
ainsi que deux sous-espaces vectoriels
de
On note :
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68f9617e87a2e1f4681fe9b96e710ab5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{K}-](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5aa01a344377aa848ff24ea4aca45ded_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dim\left(V\right).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71db475f7aadbc23af1e73c9197e910d_l3.png)
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Soit un
espace vectoriel de dimension
Pour tout
on note
l’ensemble des formes
linéaires alternées sur
Par définition, les éléments de sont les applications
linéaires
telles que :
![Rendered by QuickLaTeX.com A_{p}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6c666a7fb0a341b378530d965d692a2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}-](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd8733b4dcce9203c37597c8c9192610_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dim\left(A_{p}\right).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa714ffcb4c2a75db40e734a8669fd57_l3.png)
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