Neuf énoncés d’exercices sur la notion de dimension en algèbre linéaire (fiche 01).

Soient deux entiers naturels non nuls. On considère un
espace vectoriel
de dimension
et deux sous-espaces vectoriels
et
de
de dimensions respectives
et
Prouver l’existence d’un vecteur non nul dans

Soit un
espace vectoriel de dimension 2 et soit
Montrer que la dimension du commutant de
est 2 ou 4. On rappelle que le commutant de
est, par définition :

Montrer qu’il existe une base de exclusivement composée de matrices inversibles.
Noter qu’une question similaire est abordée dans cette vidéo : il existe une base de exclusivement composée de matrices de projecteurs.

Etant donné , on note
l’ensemble des applications continues de
dans
, dont la restriction à chaque segment
(pour
) est affine.
Calculer .

Soit une application continue (
désigne un intervalle non trivial).
On note l’espace vectoriel des applications
dérivables et telles que :
Quelle est la dimension de ?
Soit maintenant l’espace vectoriel des applications
dérivables, telles que :


Soit un
espace vectoriel de dimension
.
On considère un couple d’endomorphismes de
On note :
Montrer que :

Soit un
espace vectoriel de dimension
et soit
une famille libre de vecteurs de
On note
l’ensemble des formes linéaires
telles que
Montrer que est un
espace vectoriel et calculer

On considère un espace vectoriel
de dimension
ainsi que deux sous-espaces vectoriels
de
On note :




Soit un
espace vectoriel de dimension
Pour tout
on note
l’ensemble des formes
linéaires alternées sur
Par définition, les éléments de sont les applications
linéaires
telles que :



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