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exercice 1 facile

Il s’agit de calculer :

    \[ \sum_{k=A}^{B-1}\left(kn+r\right)\]

exercice 2 facile

Bien entendu, il y a de la formule du binôme dans l’air ! Mais il faut un peu ajuster les choses …

exercice 3 facile

Rendre la sommation télescopique en utilisant la formule de récurrence qui définit la suite de Fibonacci.

Quel est le maximum de t\left(1-t\right) pour t parcourant \left[0,1\right] ?

Etudier les variations de la fonction :

    \[ \varphi:\left[m,M\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto\frac{t}{M}+\frac{m}{t}\]

La somme à l’intérieur de la valeur absolue peut être vue comme la partie réelle d’une somme géométrique.

Développer avec la formule du binôme, puis intervertir l’ordre des sommations (pour faire, si nécessaire, la lumière sur cette histoire d’interversion de sommes, on pourra consulter cet article).
Par ailleurs, \omega est une racine n-ème de l’unité, ce qui signifie que \omega^{n}=1 et ceci doit intervenir dans le calcul de S_{n}\left(z\right). Pour réviser cette notion, on peut consulter cette vidéo.

Une idée consiste à poser :

    \[ f_{n}\left(t\right)=\sum_{k=1}^{n}\,\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\binom{n}{k}t^{k}\]

Bien entendu, il s’agit de calculer f_{n}\left(1\right). Je vous suggère de calculer dans un premier temps la dérivée de f_n.

exercice 9 difficile

La séquence S_{0},S_{1},\cdots,S_{n} commence par un nombre négatif et se termine par un nombre positif. Il y a donc un changement de signe quelque part : considérer un indice q pour lequel S_{q} et S_{q+1} sont de signes contraires…


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