Solutions détaillées de neuf exercices sur les calculs de sommes (fiche 01).
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![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
La somme à calculer est :
- de raison
,
- de premier terme
,
- de dernier terme
,
- qui comporte
termes
Par conséquent :
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Pour tout :
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-3-small.png)
En remarquant que, pour tout entier :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2019/07/spirale-fib-couleur-legende.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
On voit, en écrivant :
![Rendered by QuickLaTeX.com t\left(1-t\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0c2da98349e6e6dad352cc4e44ce4a5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t\in\left[0,1\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3be682b6dec802a6bc041e84b876fdf4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 1/4,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4c29927154db69e2064f2d69fd4d140_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t=1/2.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a94ce1078ad57aebdd1211e7e2273603_l3.png)
Donc, pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant2](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-303feb9a9f7e31434b11733996f232d3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k\in\llbracket1,n-1\rrbracket](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-643c1589bc07667fa6db174a9b85f0cd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n-1\geqslant\frac{n}{2},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3dbf57f16dfa0e7d6356896e6c81d14e_l3.png)
Remarque
Ce n’était pas demandé, mais on peut montrer que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Considérons la fonction :
![Rendered by QuickLaTeX.com t^{2}-mM,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf17a6f45df5bce5bcb65fd16d74628e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t>0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c3373eace91045a90d32403bdb9a4f5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t-\sqrt{mM}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-052a0b6f0b266c765a9f22216cd8a57f_l3.png)
On voit ainsi que décroît sur
et croît sur
puis que :
![Rendered by QuickLaTeX.com i\in\llbracket1,n\rrbracket](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7db0f518d4d0568046b350e5f0a1999_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Posons de sorte que pour tout
et d’après la formule de Moivre :
![Rendered by QuickLaTeX.com \neq1)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29f0a91443d8fbf168eab092404c5658_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall w\in\mathbb{C},\:\left|\text{Re}\left(w\right)\right|\leqslant\left|w\right|](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e3f5bd84192f6f90ed6c82d02559d8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left|z\right|=1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a49fa34d538a7e46760b8ac758629d06_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-7-small.png)
On développe, pour tout l’expression
par la formule du binôme :
L’expression
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}\,\omega^{kj}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8bc7d2604a638c913f88b93500ce050d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \omega^{j}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6906b1ae74aead11c7391bee8628b927_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Posons :
![Rendered by QuickLaTeX.com t\neq0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9fc6b94bb47b1c9246d3a011d81e5b7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t=0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7fcbab8a83ac01a18f95980c275eebb1_l3.png)
Vu que
![Rendered by QuickLaTeX.com f_{n}\left(0\right)=0,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bec5fa8fdebd4b69cdb1c100549160f_l3.png)
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Comme et
alors il existe
tel que
Mais donc
et
. On constate alors, en posant
que :
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