Exercices sur le calcul de dérivées - 01

Exercices sur le calcul de dérivées – 01

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:28 août 2017
Post category:Exercices

Neuf exercices sur la dérivation des fonctions numériques (fiche 01)

Note : les exercices 5, 6 et 8 supposent connu le principe de récurrence.
On pourra au besoin consulter l’article « Qu’est-ce qu’une preuve par récurrence ? »

Calculer les dérivées de chacune des fonctions suivantes :

$\begin{matrix} A\left(x\right)=x^{3}+x^{2}-2 & ; & B\left(x\right)=\left(x^{2}+1\right)^{2} & ; & C\left(x\right)=\left(x+1\right)^{11}\\\\ {\displaystyle D\left(x\right)=\frac{2}{x+1}} & ; & {\displaystyle E\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2}} & ; & {\displaystyle F\left(x\right)=\frac{x^{3}}{x+1}} \end{matrix}$

Calculer les dérivées de chacune des fonctions suivantes :

$\begin{matrix}{\normalcolor a\left(x\right)=x^{7}\left(1-x^{7}\right)} & ; & {\normalcolor b\left(x\right)=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)} & ; & {\normalcolor c\left(x\right)=\left(x^{2}+x-2\right)^{7}}\\\\{\displaystyle d\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+1}} & ; & {\normalcolor {\displaystyle e\left(x\right)=\frac{x}{x^{4}+1}}} & ; & f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+1\right)^{3}-3x^{2}}{\left(2x+1\right)^{2}-4x^{2}}}\end{matrix}$

Déterminer le sens de variations de la fonction :

$F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{1-x}{x^{2}+1}$

Trouver toutes les applications dérivables $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ vérifiant :

$\forall x\in\mathbb{R},\thinspace f'\left(x\right)=\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$

Montrer, par récurrence, que pour tout $n\geqslant2,$ si $u_{1},\cdots,u_{n}:I\rightarrow\mathbb{R}$ sont toutes dérivables, alors $u_{1}+\cdots+u_{n}$ est dérivable et :