

Quelques essais conduisent à conjecturer que :
où
On vérifie cette conjecture par récurrence. L’initialisation consiste à voir que :
Alors, pour tout :
c’est-à-dire, comme souhaité :

Le réel étant fixé, on observe que cette inégalité est évidente pour
et pour
Supposons-la vraie aux rangs et
pour un certain
Alors :
donc, par inégalité triangulaire, puis d’après l’hypothèse de récurrence :

On commence par calculer pour de petites valeurs de
:
Montrons par récurrence que pour tout
L’initialisation étant largement faite, passons à l’hérédité.
On suppose donc l’égalité établie au rang L’ensemble des parties non vides de
est l’union disjointe de l’ensemble des parties non vides de
et de l’ensemble des parties de
qui contiennent
De plus les parties de qui contiennent
sont exactement les
où
parcourt
Donc :

Calculons de deux façons la somme :
D’autre part, la formule du binôme appliquée à
et donc :
d’où, en reportant :
En intervertissant les deux sommations, on obtient :
La confrontation des deux expressions obtenues pour
Il s’agit d’une formule de récurrence forte donnant
Vu que
Supposons établi que, pour un certain et pour chaque
est polynomiale de degré
La formule
montre alors que
est polynomiale de degré
(en effet, l’expression
est de degré
en
et la somme qui suit à l’intérieur du crochet est une combinaison linéaire d’expressions polynomiales de degrés
Enfin, l’unicité de résulte du fait que deux fonctions polynomiales qui coïncident sur un ensemble infini (ici :
sont identiques.

Notons l’assertion :
D’une part :
et d’autre part :
Compte tenu de l’hypothèse de récurrence, il suffit de prouver que :
Or, pour tout
et l’on obtient

On procède par récurrence.
Pour c’est la définition de la convexité.
Supposons le résultat établi pour un certain et soient alors
ainsi que
tels que
Posons :
On peut ensuite appliquer l’hypothèse de récurrence, car les réels
c’est-à-dire :
Pour finir, cette inégalité est triviale si

Soit
Montrons que l’assertion suivante est vraie pour tout entier
:
: quels que soient les vecteurs propres
(pour
associés à des valeurs propres
toutes distinctes, la famille
est libre.
Pour aucun problème puisqu’une famille réduite à un seul vecteur non nul est libre.
Supposons le résultat établi au rang pour un certain
Soient alors des valeurs propres de
deux à deux distinctes et soient
des vecteurs propres respectivement associés aux
Considérons des scalaires
tels que :
({1)
En appliquant
({2)
Puis, en effectuant (2) –
D’après l’hypothèse de récurrence, la famille
Ceci impose pour tout
Enfin, en reportant dans (1) et compte tenu de on obtient
La famille est donc libre, comme souhaité.

Montrons par récurrence que l’assertion suivante est vraie pour tout
:
Pour toute famille si les vecteurs
sont tous combinaisons linéaires de
alors la famille
est liée.
Pour c’est simple : si
et
alors
est liée. En effet, c’est évident
si et sinon, cela résulte de
Supposons la propriété établie au rang et soient alors
des vecteurs de
et
des combinaisons linéaires des
On dispose pour chaque
d’une expression de
de la forme :
Si
Sinon,
Quitte à ré-indexer, on peut supposer pour simplifier que Il vient alors, d’après
:
D’où, en remplaçant dans
Par conséquent, en posant :
on constate que
Mais cette dernière égalité s’écrit aussi :
où l’on a posé
La famille

- Soient
L’inégalité
donne, après développement :
- On notera
la moyenne géométrique de
:
a) Si pour tout
alors
b) Par hypothèse, il existe tel que
Supposons par exemple Si l’on avait
pour tout
il en résulterait (par sommation d’inégalités) :
Il existe donc tel que
c) Avec ce qui précède, on voit que c’est-à-dire
d) On peut toujours supposer quitte à échanger les termes
et
dans la liste (ce n’est pas essentiel mais cela va simplifier la présentation). L’hypothèse de récurrence appliquée à la liste
donne :
Dans cette dernière inégalité, le membre de droite (on devrait dire “le membre du haut”, mais bon) vaut :
donc, d’après le point c) :
et finalement
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