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exercice 1 facile

Regardez bien :

    \[f(x)=\frac{1}{1+x}\qquad\qquad f^2(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}=\frac{1+x}{1+2x}\]


    \[f^3(x)=\frac{1}{1+\frac{1+x}{2+x}}=\frac{2+x}{3+x}\qquad\qquad f^4(x)=\frac{1}{1+\frac{2+x}{3+x}}=\frac{3+x}{5+x}\]

Les coefficients 0, 1, 1, 2, 3, 5 … vous rappelent certainement quelque chose ! Eh oui : la suite de Fibonacci semble bien impliquée dans cette histoire !

Je vous suggère de calculer encore f^5(x) pour passer d’une simple présomption à une quasi-conviction 🙂

En ensuite ? Récurrence, bien sûr…

exercice 2 facile

Penser à la formule d’addition du sinus :

    \[\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\]

pour transformer \sin((n+1)x).

exercice 3 facile

Commencer par calculer S_{n} pour n=1, n=2 puis n=3.

Ensuite, il va falloir se poser la question suivante :

Comment les parties non vides de \mathbb{N}_{n+1} sont-elles obtenues à partir de celles de \mathbb{N}_{n} ?

On peut calculer de deux façons la somme :

    \[\sum_{k=1}^{n}\left(\left(k+1\right)^{p+1}-k^{p+1}\right)\]


et en déduire une formule de récurrence forte permettant le calcul de S_{p}\left(n\right). Vous pouvez aussi visionner cette vidéo, qui est précisément consacrée à cette question.

Développer séparément les expressions :

    \[\left(\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}b_{i}\right)^{2}\qquad\textrm{et}\qquad\left(\sum_{i=1}^{n+1}\,a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n+1}\,b_{i}^{2}\right)\]


en faisant intervenir :

    \[\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2},\qquad\qquad\left(\sum_{i=1}^{n}\,a_{i}^{2}\right)\qquad\textrm{et}\qquad\left(\sum_{i=1}^{n}\,b_{i}^{2}\right)\]

Le barycentre de n+1 nombres x_1,\cdots,x_{n+1} affectés de poids t_1,\cdots,t_{n+1} (avec t_i\in[0,1] pour tout i et t_1+\cdots+t_{n+1}=1) peut s’écrire comme un barycentre de deux nombres :

    \[\sum_{i=1}^{n+1}t_ix_i=T\sum_{i=1}^n\frac{t_i}{T}x_i+(1-T)x_{n+1}\]

Je vous laisse le soin d’expliquer qui est ce nombre T.

Pour l’hérédité, on considère une famille \left(x_{1},\cdots,x_{n+1}\right) de vecteurs propres pour u, associés à des valeurs propres toutes distinctes \lambda_{1},\cdots,\lambda_{n+1}. On se donne une combinaison linéaire nulle des x_{i} et on applique u à chaque membre de cette égalité. En combinant ces deux égalités, on doit pouvoir éliminer le vecteur x_{n+1} et obtenir une combinaison linéaire nulle de x_{1},\cdots,x_{n}. On peut alors invoquer l’hypothèse de récurrence…

Vous pouvez, si vous le souhaitez, commencer à jeter un coup d’œil à cette vidéo, qui explique tout cela en détail.

Pour l’hérédité, on se donne n+1 vecteurs x_{1},\cdots,x_{n+1} ainsi que n+2 vecteurs y_{1},\cdots,y_{n+2} et l’on suppose que chaque y_j est combinaison linéaire de x_{1},\cdots,x_{n+1}.

Formaliser cela (en nommant les coefficients de toutes ces combinaisons linéaires, ce nécessitera une double indexation), puis distinguer deux cas, selon que :

  • les y_{j} sont tous combinaisons linéaires de x_{1},\cdots,x_{n}
  • ou pas !

Dans ce second cas, et quitte à renuméroter les vecteurs, on peut supposer que le \left(n+1\right)-ème coefficient de la combinaison qui exprime y_{1} à l’aide de x_{1},\cdots,x_{n+1} est non nul, ce qui permet de diviser par ce scalaire…

exercice 9 difficile

Pour le 2°-c, développer le produit \left(A-x_{i}\right)\left(x_{j}-A\right).

Le reste de l’énoncé est suffisamment détaillé.


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