Indications pour démarrer les exercices sur le raisonnement par récurrence (fiche 02).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Regardez bien :
Les coefficients 0, 1, 1, 2, 3, 5 … vous rappelent certainement quelque chose ! Eh oui : la suite de Fibonacci semble bien impliquée dans cette histoire !
Je vous suggère de calculer encore pour passer d’une simple présomption à une quasi-conviction 🙂
En ensuite ? Récurrence, bien sûr…
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Penser à la formule d’addition du sinus :
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin((n+1)x)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-95d3e36cc0a95002742c7690ed7051e2_l3.png)
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-3-small.png)
Commencer par calculer pour
,
puis
.
Ensuite, il va falloir se poser la question suivante :
Comment les parties non vides de sont-elles obtenues à partir de celles de
?
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
On peut calculer de deux façons la somme :
et en déduire une formule de récurrence forte permettant le calcul de
![Rendered by QuickLaTeX.com S_{p}\left(n\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df6c360bd220a08e3441a2a6f4e9342e_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Développer séparément les expressions :
en faisant intervenir :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Le barycentre de nombres
affectés de poids
(avec
pour tout
et
) peut s’écrire comme un barycentre de deux nombres :
Je vous laisse le soin d’expliquer qui est ce nombre .
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-7-small.png)
Pour l’hérédité, on considère une famille de vecteurs propres pour
, associés à des valeurs propres toutes distinctes
. On se donne une combinaison linéaire nulle des
et on applique
à chaque membre de cette égalité. En combinant ces deux égalités, on doit pouvoir éliminer le vecteur
et obtenir une combinaison linéaire nulle de
. On peut alors invoquer l’hypothèse de récurrence…
Vous pouvez, si vous le souhaitez, commencer à jeter un coup d’œil à cette vidéo, qui explique tout cela en détail.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Pour l’hérédité, on se donne vecteurs
ainsi que
vecteurs
et l’on suppose que chaque
est combinaison linéaire de
.
Formaliser cela (en nommant les coefficients de toutes ces combinaisons linéaires, ce nécessitera une double indexation), puis distinguer deux cas, selon que :
- les
sont tous combinaisons linéaires de
- ou pas !
Dans ce second cas, et quitte à renuméroter les vecteurs, on peut supposer que le ème coefficient de la combinaison qui exprime
à l’aide de
est non nul, ce qui permet de diviser par ce scalaire…
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Pour le 2°-c, développer le produit .
Le reste de l’énoncé est suffisamment détaillé.