Comment calculer une intégrale ?

$article-niveau-lycée$

Le calcul intégral apparaît (modestement) dans le programme de terminale S.

L’objet de cet article est de présenter cette notion, en essayant de dégager l’idée géométrique sous-jacente, puis de détailler quelques exemples simples.

Le lien entre les points de vue géométrique (aire “sous la courbe”) et analytique (primitives) est abordée de façon intuitive (et non rigoureuse) à la dernière section.

Si vous cherchez plutôt un texte “utilitaire”, avec seulement quelques exemples de calculs, rendez-vous directement à la section 4 (mais je vous invite à revenir ultérieurement, pour lire l’article dans son ensemble).

1 – De quoi s’agit-il ?

Une intégrale se présente sous la forme :

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\thinspace dx$

et se lit “intégrale de $a$ à $b$ de $f\left(x\right)$ ”.

On peut prononcer ou non le “ $dx$ “, c’est au choix… mais il faut le noter.

Dans cette écriture :

• $a,b$ désignent des nombres réels,
• $f$ désigne une fonction, supposée continue sur un intervalle contenant $a$ et $b.$

Si $a<b,$ cette intégrale mesure l’aire (algébrique) du domaine limité par le graphe de $f,$ l’axe des abscisses et les deux droites verticales d’équation $x=a$ et $x=b.$

L’adjectif “algébrique” signifie que l’aire est comptée positivement si le graphe de $f$ est situé “au-dessus” de l’axe des abscisses et négativement dans le cas contraire.

Vers la fin du 17-ème siècle, à l’époque de Newton et Leibniz, on aurait dit que le symbole $dx$ désigne une “variation infinitésimale de l’abscisse” et que l’aire du “rectangle infinitésimal” de côtés $f\left(x\right)$ et $dx$ est égale au produit $f\left(x\right)\thinspace dx.$

Quant au symbole $\int,$ c’est le vestige de la lettre $S,$ initiale du mot somme. En effet, l’idée de base était que :

L’aire du domaine limité par le graphe de $f,$ l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ est la “somme infinie” des aires de rectangles “infinitésimaux”.

Les figures ci-dessous peuvent aider à comprendre cette idée : on a représenté une collection de rectangles associés à des subdivisions régulières, de plus en plus fines, de l’intervalle d’intégration (cliquer sur une image pour obtenir un agrandissement) :

Une présentation moderne (et rigoureuse) de ces idées repose sur les notions de borne supérieure et de limite. Dans cet article de niveau élémentaire, nous n’irons pas plus loin dans cette direction.

2 – Notion de primitive

Je présume que vous savez calculer la dérivée d’une fonction (pourvu qu’elle soit dérivable … et pas trop moche) : on enseigne cela dès la classe de première.

La primitivation est l’opération inverse :

Etant donnée une fonction $f,$ on appelle primitive de $f$ toute fonction dérivable $F,$ dont la dérivée est $f.$

$warning-math-os$ Attention de bien dire une primitive (et non pas la primitive); en effet, en ajoutant une constante arbitraire à $F,$ on trouve encore une primitive de $f.$ De ce fait, si la fonction $f$ possède une primitive, alors elle en possède fatalement une infinité !

Exemple : la dérivée de $x\mapsto x^{2}$ est $x\mapsto2x;$ par conséquent, une primitive de $x\mapsto2x$ est $x\mapsto x^{2}$ (et $x\mapsto x^{2}+7$ en est une autre, tout comme $x\mapsto x^{2}-\pi).$ Et du coup, une primitive de $x\mapsto x$ est $x\mapsto\frac{x^{2}}{2}.$

Il est pratique de consigner les principales primitives connues dans un tableau à deux lignes : chaque colonne comporte deux fonctions, celle du bas étant une primitive de celle du haut.

Le tableau de primitives ci-dessous est modeste, mais c’est un bon début :

Dans la première colonne, l’entier $n$ est supposé positif ou nul. La formule reste valable pour un entier négatif, à condition de considérer que l’intervalle de définition ne contient pas 0. Cette formule reste même valable pour une classe plus étendue d’exposants (d’ailleurs la colonne 2 correspond au cas où $n=1/2$ ), mais nous en resterons là dans cet article.

3 – Petite digression pour les curieux

Ce qui précède peut sembler simple, mais il y a un hic :

Le calcul explicite des primitives d’une fonction n’est pas toujours faisable explicitement, à l’aide des fonctions dites “usuelles”.

On peut même dire qu’il est généralement infaisable.

Comprenons-nous bien : n’importe quelle fonction continue (sur un intervalle) possède des primitives (en terminale, on peut se contenter d’admettre ce théorème, car sa démonstration nécessite un bagage plus important). Mais on n’est pas sûr de savoir expliciter une telle primitive à l’aide des fonctions dites “usuelles” (polynômes, sinus et cosinus, exponentielle et logarithme, plus éventuellement quelques autres…) et de leurs composées.

Par exemple, on ne sait pas calculer explicitement les primitives de la fonction $x\mapsto e^{x^{2}}.$
Vous doutez de cette affirmation ?
Essayez, et vous verrez que cela vous donnera du fil à retordre…

A ce sujet, voici l’erreur classique du débutant :

Un calcul faux !…

On sait que la dérivée de $x\mapsto e^{2x}$ est $x\mapsto2\thinspace e^{2x}.$

Une primitive de $x\mapsto e^{2x}$ est donc la fonction $x\mapsto\frac{1}{2}e^{2x}.$

Procédons maintenant par analogie…

En dérivant $x\mapsto e^{x^{2}},$ on trouve la fonction $x\mapsto2x\thinspace e^{x^{2}}.$

Par conséquent, la fonction $F:{\displaystyle x\mapsto\frac{e^{x^{2}}}{2x}}$ serait une primitive de $x\mapsto e^{x^{2}}.$ Soyons prudents et vérifions…

On dérive $x\mapsto\frac{e^{x^{2}}}{2x}$ en utilisant la formule de dérivation d’un quotient :

$\left(\frac{u}{v}\right)'\left(x\right)=\frac{u'\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v'\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}$

On obtient ainsi :

$F'\left(x\right)=\frac{\left(2xe^{x^{2}}\right)\left(2x\right)-2e^{x^{2}}}{4x^{2}}=\left(1-\frac{1}{2x^{2}}\right)e^{x^{2}}$

Manifestement, ça ne marche pas : on ne retrouve pas $e^{x^{2}}.$

Mais alors, où est l’erreur ?

Réponse : on a raisonné comme si le facteur $\frac{1}{2x}$ était constant ! Si $G$ est une primitive de $g,$ alors $\lambda\thinspace G$ est une primitive de $\lambda\thinspace g$ ( $\lambda$ désigne une constante réelle). Mais si $\lambda$ est remplacé par $\lambda\left(x\right),$ avec pour $\lambda$ une fonction dérivable, alors ce n’est plus la même chose : on doit utiliser la formule de dérivation d’un produit; à savoir

$\left(\lambda G\right)'\left(x\right)=\lambda'\left(x\right)\thinspace G\left(x\right)+\lambda\left(x\right)\thinspace g\left(x\right)$

Nous n’avons donc pas réussi à calculer
de primitive pour la fonction $x\mapsto e^{x^{2}}.$

En fait, il y a une bonne raison à cela : on peut démontrer qu’il est impossible d’expliciter une telle fonction au moyen des fonctions usuelles, mais c’est une autre paire de manches (sans compter qu’il faudrait commencer par formuler avec précision ce que signifie cette impossibilité) !

Fin de la digression, revenons à nos moutons…

4 – Exemples de calculs d’intégrales

Pour calculer l’intégrale $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\thinspace dx,$ il suffit de connaître une primitive $F$ de $f$ de l’évaluer en $a$ et en $b,$ puis de faire la différence.

Autrement dit :

$\boxed{\int_{a}^{b}f\left(x\right)\thinspace dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$

Cette différence $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ se note aussi $\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}.$ On l’appelle la variation de $F$ entre $a$ et $b$ .

Bien sûr, pour expliquer proprement d’où provient l’égalité encadrée, encore faudrait-il avoir donné au préalable une vraie définition de la notion d’intégrale (ce qui n’a pas été fait ici). Néanmoins, en se fondant sur l’interprétation géométrique (aire du domaine “sous le graphe”), on peut tenter une justification (peu rigoureuse, mais c’est mieux que rien) : voir section 6, en fin d’article.

Détaillons cinq exemples simples.

Exemple 1

$I_{1}=\int_{0}^{1}x^{2}\thinspace dx$

On sait que la dérivée de $x\mapsto x^{3}$ est $x\mapsto3x^{2}.$
On en déduit qu’une primitive de $x\mapsto x^{2}$ est $x\mapsto\frac{x^{3}}{3}.$ Ainsi :

$I_{1}=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}$

Exemple 2

$I_{2}=\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\thinspace dx$

On sait que la dérivée de $x\mapsto\frac{1}{x}$ est ${\displaystyle x\mapsto-\frac{1}{x^{2}}}.$ Une primitive de $x\mapsto\frac{1}{x^{2}}$ est donc ${\displaystyle x\mapsto-\frac{1}{x}}.$

On voit ainsi que :

$I_{2}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2}=-\frac{1}{2}-\left(-1\right)=\frac{1}{2}$

Exemple 3

$I_{3}=\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\thinspace dx$

On sait que, si $u$ est dérivable et strictement positive, alors
une primitive de la fonction $x\mapsto\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}$ est la fonction $x\mapsto\ln\left(u\left(x\right)\right).$ Par conséquent :

$I_{3}=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\:\frac{2x}{1+x^{2}}\thinspace dx=\left[\frac{1}{2}\ln\left(1+x^{2}\right)\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\ln\left(2\right)$

Exemple 4

$I_{4}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\left(x\right)\thinspace dx$

On peut transformer l’expression $\sin^{2}\left(x\right)$ en utilisant la formule de linéarisation :

$\forall x\in\mathbb{R},\:\sin^{2}\left(x\right)=\frac{1-\cos\left(2x\right)}{2}$

On voit ainsi que :

$I_{4}=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin\left(2x\right)}{4}\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{\pi}{4}$

Exemple 5

$I_{5}=\int_{0}^{1}\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\thinspace dx$

Une astuce va faciliter la primitivation de la fonction ${\displaystyle x\mapsto\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}}.$

On observe que, pour tout $x\in\mathbb{R}-\left\{ -1,2\right\}$ :

$\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}\right)$

Il est alors clair que :

$I_{5}=\left[\frac{1}{3}\left(\ln\left(2-x\right)-\ln\left(x+1\right)\right)\right]_{0}^{1}=-\frac{2}{3}\ln\left(2\right)$

5 – Règles de calcul

Afin de pouvoir manipuler des intégrales, il est indispensable de connaître les quelques propriétés suivantes. Il en existe d’autres, mais on peut considérer que ce sont là les propriétés de base.

Linéarité

Si $f$ et $g$ sont continues sur $\left[a,b\right]$ et si $\lambda\in\mathbb{R},$ alors :

$\int_{a}^{b}\left(\lambda\thinspace f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\thinspace dx=\lambda\int_{a}^{b}f\left(x\right)\thinspace dx+\int_{a}^{b}g\left(x\right)\thinspace dx$

Autrement dit :

• l’intégrale d’une somme de deux fonctions est égale la somme des intégrales (faire $\lambda=1$ ci-dessus)

• l’intégrale du produit d’une fonction par une constante est égale au produit de cette constante par l’intégrale de cette fonction (remplacer $g$ par la fonction nulle).

Positivité
Si $f$ est continue sur $\left[a,b\right]$ et si $f(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in\left[a,b\right]$ , alors :

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\thinspace dx\geqslant0$

Croissance
En combinant linéarité et positivité, on voit aussitôt que si $f$ et $g$ sont continues sur $\left[a,b\right]$ et si $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ pour tout $x\in\left[a,b\right],$ alors :

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\thinspace dx\leqslant\int_{a}^{b}g\left(x\right)\thinspace dx$

Relation de Chasles
Si $a<b<c$ et si $f$ est continue sur $\left[a,c\right],$ alors :

$\int_{a}^{c}f\left(x\right)\thinspace dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\thinspace dx+\int_{b}^{c}f\left(x\right)\thinspace dx$

Pour aller plus loin, je vous suggère d’étudier cet article, qui constitue une introduction à l’intégration par parties.

6 – Une justification intuitive

Expliquons dans cette dernière section, de manière non rigoureuse, la formule :

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\thinspace dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)\qquad\left(\spadesuit\right)$

où $F$ désigne une primitive de la fonction continue $f.$

Si l’on note $\mathcal{A}\left(X\right)$ l’aire du domaine limité (à gauche) par la droite d’équation $x=a$ et (à droite) par celle d’équation $x=X,$ alors la dérivée de la fonction $\mathcal{A}$ s’obtient en calculant la limite d’un taux d’accroissement :

$\mathcal{A}'\left(X\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\mathcal{A}\left(X+h\right)-\mathcal{A}\left(X\right)}{h}$

Le numérateur $\mathcal{A}\left(X+h\right)-\mathcal{A}\left(X\right)$ représente l’aire d’une région qui, lorsque $h$ est petit, ressemble à s’y méprendre à un rectangle dont les côtés mesurent $h$ et $f\left(X\right).$

Autrement dit, lorsque $h$ est petit : $\mathcal{A}\left(X+h\right)-\mathcal{A}\left(X\right)\simeq h\thinspace f\left(X\right)$ . En passant à la limite (lorsque $h\to 0$ ), on trouve finalement l’égalité :

$\mathcal{A}'\left(X\right)=f\left(X\right)$

valable pour tout $X\in\left[a,b\right].$ Bref, $\mathcal{A}$ est une primitive de $f.$

Si l’on considère que $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\thinspace dx$ représente l’aire du domaine qui s’étend de l’abscisse $a$ jusqu’à l’abscisse $b,$ alors :

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\thinspace dx=\mathcal{A}\left(b\right)$

Enfin, si $F$ désigne une primitive quelconque de $f,$ on sait que $\mathcal{A}$ et $F$ diffèrent d’une constante : il existe un réel $C$ tel que $F\left(X\right)=\mathcal{A}\left(X\right)+C,$ pour tout $X\in\left[a,b\right].$

De ce fait, et vu que $\mathcal{A}\left(a\right)=0$ :

$F\left(b\right)-F\left(a\right)=\left(\mathcal{A}\left(b\right)+C\right)-\left(\mathcal{A}\left(a\right)+C\right)=\mathcal{A}\left(b\right)$

La formule $\left(\spadesuit\right)$ est ainsi justifiée.

J’espère que cet article d’introduction vous aura été utile.

N’en restez pas là ! Apprenez à intégrer par parties en lisant cet article et cherchez dès maintenant des exercices pour vous entraîner à calculer des intégrales.

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