Exercices sur le produit scalaire – 02

Neuf énoncés d’exercices sur la notion de produit scalaire (fiche 02).

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exercice 1 facile

Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel muni d’un produit scalaire et soit A\subset E.

Montrer que A^{\bot\bot\bot}=A^{\bot}

exercice 2 facile

Soit E un espace vectoriel euclidien et soient u,v des endomorphismes symétriques de E. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que l’endomorphisme u\circ v soit symétrique.

exercice 3 facile

Soit E un espace vectoriel euclidien. On note comme d’habitude E^{\star} sont dual : c’est l’espace \mathcal{L}\left(E,\mathbb{R}\right). On sait que l’application :

    \[J:E\rightarrow E^{\star},\thinspace a\mapsto\left(a\mid\cdot\right)\]

est un isomorphisme. On montre généralement ceci en prouvant que J est linéaire et injective, puis en invoquant le théorème du rang pour obtenir sa surjectivité.

On demande ici d’établir la surjectivité de J de façon directe.

Etant donné n\in\mathbb{N}, on munit l’espace vectoriel \mathbb{R}_{n}\left[X\right] du produit scalaire défini, pour tout \left(P,Q\right)\in\mathbb{R}_{n}\left[X\right]^{2}, par :

    \[\left(P\mid Q\right)=\int_{0}^{2\pi}P\left(\cos\left(\theta\right)\right)Q\left(\cos\left(\theta\right)\right)\thinspace d\theta\]

Trouver une base orthonormale.

Etant donné un espace vectoriel euclidien E, on demande de déterminer tous les endomorphismes f\in\mathcal{L}\left(E\right) qui préservent l’orthogonalité, c’est-à-dire qui sont tels que :

    \[\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace x\bot y\Rightarrow f\left(x\right)\bot f\left(y\right)\]

On munit l’espace E des applications continues de \left[0,1\right] dans \mathbb{R} du produit scalaire défini, pour tout \left(f,g\right)\in E^{2}, par :

    \[\left(f\mid g\right)=\int_{0}^{1}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt\]

On note L l’ensemble des applications lipschitziennes de \left[0,1\right] dans \mathbb{R}.

Vérifier que L est sous-espace vectoriel de E puis déterminer L^{\bot}.

Soit E=\mathcal{C}\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right). Pour f\in E, on pose :

    \[N\left(f\right)=\int_{0}^{1}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt\]

Vérifier que N est une norme non euclidienne sur E.

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n et soit \left(e_{1},\cdots,e_{n}\right) une famille de vecteurs de E. On suppose que :

    \[\forall x\in E,\,\left\Vert x\right\Vert ^{2}=\sum_{i=1}^{n}\,\left(x\mid e_{i}\right)^{2}\]

Montrer que \left(e_{1},\cdots,e_{n}\right) est une base orthonormale de E.

L’espace E des applications continues de \left[0,1\right] dans \mathbb{R} est muni du produit scalaire défini par :

    \[\forall\left(f,g\right)\in E^{2},\thinspace\left(f\mid g\right)=\int_{0}^{1}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt\]

On note \theta:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto1.

On considère les endomorphismes :

    \[\varphi:E\rightarrow E,\thinspace f\mapsto f\left(0\right)\thinspace\theta\]

    \[\psi:E\rightarrow E,f\mapsto\left[x\mapsto\int_{0}^{x}f\left(t\right)\thinspace dt\right]\]

Montrer que \varphi ne possède pas d’adjoint. Montrer que \psi possède un adjoint et le déterminer.

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