Quelques indications pour vous aider à démarrer les exercices sur la dimension (fiche 01).

icone-math-OS-Exos
exercice 1 facile

Penser à utiliser la formule de Grassmann.

exercice 2 facile

Distinguer deux cas, selon que f est une homothétie ou non.

Penser à utiliser la caractérisation des homothéties, que l’on peut trouver ici.

exercice 3 facile

Une solution consiste à translater la base canonique de \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right).

Si f\in E_{n}, alors la connaissance des f\left(\frac{k}{n}\right) pour k\in\left\llbracket 0,n\right\rrbracket détermine complètement f.

Formaliser cette idée et en déduire un isomorphisme entre E_{n} et un espace vectoriel de dimension connue.

La première question est archi-classique et doit conduire à une droite vectorielle de solutions. Pour la seconde, on peut temporairement se placer sur un intervalle où la fonction x\mapsto x\left(x-1\right) ne s’annule pas.

Un bon point de départ : considérer la restriction de f à l’image de g et lui appliquer le théorème du rang.

La famille libre \left(v_{1},\cdots,v_{r}\right) peut être complétée en une base de E. Il sera utile de faire intervenir la base duale de celle-ci.

Le fait que V soit un sous-espace vectoriel de \mathcal{L}\left(E\right) ne doit poser aucune difficulté : on vérifie simplement le critère de sous-espace.

Pour calculer \dim\left(V\right), une idée consiste à établir un isomorphisme entre V et un espace vectoriel de dimension connue.

Il pourra être utile de se souvenir du fait qu’une application linéaire est entièrement déterminée par ses restrictions à des sous-espaces supplémentaires.

Ces indications devraient permettre le calcul de la dimension de V.

exercice 9 difficile

C’est sans doute l’exercice le plus difficile d’accès de cette fiche …

Etant donnée une base \left(e_{1},\cdots,e_{n}\right) de E, on peut noter \left(e_{1}^{\star},\cdots,e_{n}^{\star}\right) sa base duale et décomposer tout vecteur x\in E sous la forme :

    \[x=\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{\star}\left(x\right)\thinspace e_{i}\]

Si f:E^{p}\rightarrow\mathbb{R} est une forme p-linéaire, alors pour tout \left(x_{1},\cdots x_{p}\right)\in E^{2}, le scalaire f\left(x_{1},\cdots,x_{p}\right) peut donc s’écrire comme une somme multiple, indexée par l’ensemble \left\llbracket 1,n\right\rrbracket ^{\left\llbracket 1,p\right\rrbracket } des applications de \left\llbracket 1,p\right\rrbracket dans \left\llbracket 1,n\right\rrbracket :

    \[f\left(x_{1},\cdots,x_{p}\right)=\sum_{\sigma\in\left\llbracket 1,n\right\rrbracket ^{\left\llbracket 1,p\right\rrbracket }}\left[\prod_{k=1}^{p}e_{\sigma\left(k\right)}^{\star}\left(x_{k}\right)\right]\thinspace f\left(e_{\sigma\left(1\right)},\cdots,e_{\sigma\left(p\right)}\right)\]

Si de plus f est alternée, alors certains termes de cette somme doivent disparaître …


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