Indications pour démarrer les exercices sur la dimension (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Penser à utiliser la formule de Grassmann.
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-2-small.png)
Distinguer deux cas, selon que est une homothétie ou non.
Penser à utiliser la caractérisation des homothéties, que l’on peut trouver ici.
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Une solution consiste à translater la base canonique de
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Si alors la connaissance des
pour
détermine complètement
Formaliser cette idée et en déduire un isomorphisme entre et un espace vectoriel de dimension connue.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
La première question est archi-classique et doit conduire à une droite vectorielle de solutions. Pour la seconde, on peut temporairement se placer sur un intervalle où la fonction ne s’annule pas.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-6-small.png)
Un bon point de départ : considérer la restriction de à l’image de
et lui appliquer le théorème du rang.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
La famille libre peut être complétée en une base de
Il sera utile de faire intervenir la base duale de celle-ci.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Le fait que soit un sous-espace vectoriel de
ne doit poser aucune difficulté : on vérifie simplement le critère de sous-espace.
Pour calculer une idée consiste à établir un isomorphisme entre
et un espace vectoriel de dimension connue.
Il pourra être utile de se souvenir du fait qu’une application linéaire est entièrement déterminée par ses restrictions à des sous-espaces supplémentaires.
Ces indications devraient permettre le calcul de la dimension de .
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
C’est sans doute l’exercice le plus difficile d’accès de cette fiche …
Etant donnée une base de
on peut noter
sa base duale et décomposer tout vecteur
sous la forme :
Si est une forme
linéaire, alors pour tout
le scalaire
peut donc s’écrire comme une somme multiple, indexée par l’ensemble
des applications de
dans
:
Si de plus est alternée, alors certains termes de cette somme doivent disparaître …