Exercices sur la dimension – 01

Neuf énoncés d’exercices sur la notion de dimension en algèbre linéaire (fiche 01).

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exercice 1 facile

Soient a,b deux entiers naturels non nuls. On considère un \mathbb{K}-espace vectoriel E de dimension a+b-1 et deux sous-espaces vectoriels F et G de E, de dimensions respectives a et b.

Prouver l’existence d’un vecteur non nul dans F\cap G.

exercice 2 facile

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension 2 et soit f\in\mathcal{L}\left(E\right). Montrer que la dimension du commutant de f est 2 ou 4. On rappelle que le commutant de f est, par définition :

    \[C_{f}=\left\{ u\in\mathcal{L}\left(E\right);\thinspace u\circ f=f\circ u\right\}\]

Montrer qu’il existe une base de \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right) exclusivement composée de matrices inversibles.

Noter qu’une question similaire est abordée dans cette vidéo : il existe une base de \mathcal{M}_n\left(\mathbb{K}\right) exclusivement composée de matrices de projecteurs.

Etant donné n\in\mathbb{N}^\star, on note E_n l’ensemble des applications continues de \left[0,1\right] dans \mathbb{R}, dont la restriction à chaque segment \left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right] (pour 0\leqslant k\leqslant n-1) est affine.

Calculer \dim(E_n).

Soit u:I\rightarrow\mathbb{R} une application continue (I désigne un intervalle non trivial).

On note E l’espace vectoriel des applications f:I\rightarrow\mathbb{R} dérivables et telles que :

    \[\forall x\in I,\thinspace f'\left(x\right)=u\left(x\right)\thinspace f\left(x\right)\]

Quelle est la dimension de E ?

Soit maintenant F l’espace vectoriel des applications f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} dérivables, telles que :

    \[\forall x\in\mathbb{R},\thinspace x\left(x-1\right)\thinspace f'\left(x\right)=2\left(2x-1\right)\thinspace f\left(x\right)\]

Calculer \dim\left(F\right).

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n\geqslant1.

On considère un couple \left(f,g\right) d’endomorphismes de E. On note :

    \[a=\dim\left(\ker\left(f\right)\right)\qquad\text{et}\qquad b=\dim\left(\ker\left(g\right)\right)\]

Montrer que :

    \[\max\left\{ a,\thinspace b\right\} \leqslant\dim\left(\ker\left(f\circ g\right)\right)\leqslant a+b\]

et préciser les cas d’égalité.

Soit E un \mathbb{K-}espace vectoriel de dimension n\geqslant1 et soit \left(v_{1},\cdots,v_{r}\right) une famille libre de vecteurs de E. On note \Phi l’ensemble des formes linéaires \varphi:E\rightarrow\mathbb{K} telles que \forall i\in\left\llbracket 1,r\right\rrbracket ,\thinspace\varphi\left(v_{i}\right)=0.

Montrer que \Phi est un \mathbb{K}-espace vectoriel et calculer \dim\left(\Phi\right).

On considère un \mathbb{K}-espace vectoriel E de dimension n\geqslant1, ainsi que deux sous-espaces vectoriels A,B de E. On note :

    \[V=\left\{ u\in\mathcal{L}\left(E\right);\thinspace A\subset\ker\left(u\right)\text{ et }\text{Im}\left(u\right)\subset B\right\}\]

Montrer que V est un \mathbb{K}-espace vectoriel et calculer \dim\left(V\right).

exercice 9 difficile

Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension n\geqslant1. Pour tout p\in\mathbb{N}^{\star}, on note A_{p} l’ensemble des formes p-linéaires alternées sur E.

Par définition, les éléments de A_{p} sont les applications p-linéaires f:E^{p}\rightarrow\mathbb{R} telles que :

    \[\forall\left(x_{1},\cdots,x_{p}\right)\in E^{p},\thinspace\left(\exists\left(i,j\right)\in\left\llbracket 1,p\right\rrbracket ^{2};\thinspace i\neq j\text{ et }x_{i}=x_{j}\right)\Rightarrow f\left(x_{1},\cdots,x_{p}\right)=0\]

Montrer que A_{p} est un \mathbb{R}-espace vectoriel et calculer \dim\left(A_{p}\right).

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