Neuf énoncés d’exercices sur l’uniforme continuité (fiche 01).
Deux exercices corrigés sur ce thème sont consultables ici
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
A tout on associe l’application
Pour quelles valeurs de cette application est-elle uniformément continue ?
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Les applications
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-3-small.png)
Soit un intervalle non trivial de
et soient
deux applications uniformément continues. Montrer que
est aussi uniformément continue.
Peut-on en dire autant de ? Et si
et
sont de plus supposées bornées ?
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Soit un intervalle non trivial de
soit
une suite d’applications uniformément continues de
dans
qui converge uniformément sur
vers
Montrer que
est uniformément continue.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Montrer que si est continue et périodique, alors
est uniformément continue.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Soient tels que
et soit
uniformément continue. Montrer que
est bornée. Reprendre alors le premier exemple de l’exercice 2.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Soient continues et
Calculer :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
On suppose (hypothèse (H)) que :
continue
- l’intégrale impropre
converge.
- Montrer que si
admet en
une limite, alors celle-ci est nécessairement nulle.
- Montrer par un exemple que (H) n’entraîne pas
- Montrer que si l’on ajoute à (H) l’hypothèse d’uniforme continuité de
alors
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Soit continue. On pose pour tout
:
avec pour tout
Calculer
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