Exercices sur l’uniforme continuité – 01

icone-math-OS-Exos

Deux exercices corrigés sur ce thème sont consultables ici

exercice 1 facile

A tout \alpha>0, on associe l’application p_{\alpha}:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x^{\alpha}.

Pour quelles valeurs de \alpha cette application est-elle uniformément continue ?

exercice 2 facile

Les applications

    \[ L:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\ln\left(x\right)\]

    \[ C:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\cos\left(x^{2}\right)\]

sont-elles uniformément continues ?

exercice 3 facile

Soit I un intervalle non trivial de \mathbb{R} et soient f,g:I\rightarrow\mathbb{R} deux applications uniformément continues. Montrer que f+g est aussi uniformément continue.

Peut-on en dire autant de fg ? Et si f et g sont de plus supposées bornées ?

Soit I un intervalle non trivial de \mathbb{R} soit \left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} une suite d’applications uniformément continues de I dans \mathbb{R}, qui converge uniformément sur I vers g. Montrer que g est uniformément continue.

Montrer que si f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} est continue et périodique, alors f est uniformément continue.

Soient a,b\in\mathbb{R} tels que a<b et soit f:\left]a,b\right[\rightarrow\mathbb{R} uniformément continue. Montrer que f est bornée. Reprendre alors le premier exemple de l’exercice 2.

Soient f,g:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R} continues et \alpha\geqslant1. Calculer :

    \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\,\frac{1}{n}\,\sum_{k=0}^{n-1}\,f\left(\frac{k}{n}\right)\,g\left(\frac{k}{n}+\frac{1}{n^{\alpha}}\right)\]

On suppose (hypothèse (H)) que :

  • f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R} continue
  • l’intégrale impropre \int_{0}^{+\infty}f\left(t\right)\thinspace dt converge.
  1. Montrer que si f admet en +\infty une limite, alors celle-ci est nécessairement nulle.
  2. Montrer par un exemple que (H) n’entraîne pas {\displaystyle\lim_{+\infty}f=0}.
  3. Montrer que si l’on ajoute à (H) l’hypothèse d’uniforme continuité de f, alors {\displaystyle \lim_{+\infty}f=0}.
exercice 9 difficile

Soit f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R} continue. On pose pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[ I_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\left|\int_{x_{k,n}}^{x_{k+1,n}}f\left(t\right)\thinspace dt\right|\]

avec {\displaystyle x_{k,n}=a+\frac{k}{n}\left(b-a\right)} pour tout k\in\left\{0,\cdots,n\right\}.

Calculer \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}}


Cliquer ici pour accéder aux indications
Cliquer ici pour accéder aux solutions

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  

Laisser un commentaire

Fermer le menu