Neuf énoncés d’exercices de calcul intégral (fiche 04) : intégrales impropres.
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Déterminer la nature de chacune des six intégrales impropres suivantes :
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Soit continue et possédant en
une limite
(finie ou infinie).
Montrer que si l’intégrale impropre converge, alors
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2020/06/warning-Mathos.png)
Attention ! Cette intégrale peut très bien converger sans que n’admette de limite en
Voir à ce sujet l’exercice n° 7 ci-dessous ou bien ici.
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-3-small.png)
Montrer que, pour tout :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
On considère, pour , les intégrales impropres (dites « de Bertrand ») :
Ces intégrales doivent être considérées comme des « intégrales de référence ».
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
On pose, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a994b3d99583d7b76f52e4c1f1c78e5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}J_{n}=0.}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91aaa3666beac5ddd6e826edc7189588_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}J_{n}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ff60b2f0ed93a219604f5e940d8c6d6_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Montrer que pour tout et pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle G=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}\thinspace dt}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f08c3367d9f021755e714b4e2687e56_l3.png)
On pourra faire intervenir la suite des intégrales de Wallis (voir par exemple les premières sections de cet article).
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-7-small.png)
Soit une suite décroissante à termes strictement positifs.
On suppose que et que la série
converge.
On définit alors une application de la manière suivante.
Pour tout la restriction de
à l’intervalle
est définie par les conditions :
affine sur
affine sur
Faire une figure, puis montrer que l’intégrale impropre converge mais que
n’admet pas de limite en
Cet exemple est à comparer avec celui donné dans cet article.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
On pose, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com \Gamma](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa0a6523569de288b3ef98d6d4792236_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ln\circ\Gamma](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4a46102d5d4f487a587be4fbe5aa837_l3.png)
Pour la convergence de l’intégrale (doublement impropre) qui définit , voir par exemple ici.
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Soit logarithmiquement convexe (ce qui signifie que
est convexe) et telle que :
Montrer que
![Rendered by QuickLaTeX.com f=\Gamma](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35ab39d2d809a1929724a5e14025afdb_l3.png)
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