Exercices de calcul de sommes - 02 | Math-OS

Exercices de calcul de sommes – 02

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exercice 1 facile

Prouver, le plus simplement possible, que :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=+\infty$

exercice 2 facile

Trouver, sans chercher à raisonner par récurrence, une formule plus simple pour :

$C_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}k$

exercice 3 facile

Calculer plus simplement :

$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)$

et proposer une généralisation.

Prouver que, pour tout entier $n\geqslant2$ :

$\sum_{k=1}^{n}k!\leqslant n!+\left(n-1\right)!+\left(n-2\right)\left(n-2\right)!$

En déduire le calcul de :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{n}k!$

On note $F_{n}$ le $n-$ ème nombre de Fibonacci. On rappelle que :

$F_{0}=0$ et $F_{1}=1$
$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$

Calculer :

$\sum_{n=1}^{+\infty}\,\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{F_{n}\,F_{n+1}}$

Calculer plus simplement la somme :

$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\binom{n}{k}}{k+1}$

Soit $n\in\mathbb{N}^{\star}$ et soient $a_{1},\cdots,a_{n}\in\left]-1,+\infty\right[$ tels que $a_{1}+\cdots+a_{n}\geqslant0.$ Etablir :

$\prod_{k=1}^{n}\left(1+a_{k}\right)\leqslant\sum_{k=0}^{n}\frac{S^{k}}{k!}$

où l’on a posé $S=\sum_{i=1}^{n}a_{i}.$

Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n.$ Combien peut-on former de couples $\left(A,B\right)$ de parties de $E$ vérifiant $A\subset B$ ?

exercice 9 difficile

Soit $n\in\mathbb{N}.$ On lance plusieurs fois de suite une pièce de monnaie équilibrée, jusqu’à obtenir un total de $n+1$ “pile” ou de $n+1$ “face”. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires. Déterminer la loi de $X$ et en déduire le calcul de :

$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\binom{n+k}{k}}{2^{k}}$

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Tags: coefficients binomiaux, combinatoire, comparaison de moyennes, formule du binôme, formule du Pion, formule sommatoire, Math-OS, moyenne arithmétique, moyenne géométrique, MP*, MPSI, pile ou face, probabilités, sommation télescopique, somme alternée, terminale S

Cet article a 1 commentaire

errard
11 Juil 2019 Répondre

un article sur les sommes doubles et les familles sommables serait le bienvenu merci

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