Prouver, le plus simplement possible, que :
![\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=+\infty\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-664952c1bd3873a7170628a23a03125e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Trouver, sans chercher à raisonner par récurrence, une formule plus simple pour :
![\[ C_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}k\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ace0b5ee9c5bf0e362f4cfc928d69b17_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Calculer plus simplement :
![\[ \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f69c648f70621eaa0041cf99c28b1555_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Prouver que, pour tout entier 
:
![\[ \sum_{k=1}^{n}k!\leqslant n!+\left(n-1\right)!+\left(n-2\right)\left(n-2\right)!\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-727ce107025124d0101643423c15e48b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{n}k!\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17d9bd8d3eabbccbfacfe02267dc8547_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
On note 
le 
ème nombre de Fibonacci. On rappelle que :
et 
Calculer :
![\[ \sum_{n=1}^{+\infty}\,\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{F_{n}\,F_{n+1}}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c26fd9459cd5a7842ae89edea54c939_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Calculer plus simplement la somme :
![\[ S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\binom{n}{k}}{k+1}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d69ea8a6d5fc2604cbcd04de59ab9d5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soit 
et soient ![a_{1},\cdots,a_{n}\in\left]-1,+\infty\right[](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f18f268bbcd07e3a836d62cfeb23f82e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
tels que 
Etablir :
![\[ \prod_{k=1}^{n}\left(1+a_{k}\right)\leqslant\sum_{k=0}^{n}\frac{S^{k}}{k!}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b4f1ec64c3cd0b6b2f61f9adadad9f1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
où l’on a posé
Soit 
un ensemble fini de cardinal 
Combien peut-on former de couples 
de parties de vérifiant 
?
Soit 
On lance plusieurs fois de suite une pièce de monnaie équilibrée, jusqu’à obtenir un total de 
“pile” ou de “face”. On note 
la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires. Déterminer la loi de et en déduire le calcul de :
![\[ S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\binom{n+k}{k}}{2^{k}}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f68a40a7e158af345de174d757b7e23a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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un article sur les sommes doubles et les familles sommables serait le bienvenu merci