Exercices de calcul de sommes – 02

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exercice 1 facile

Trouver, sans chercher à raisonner par récurrence, une formule plus simple pour :

    \[ C_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}k\]

exercice 2 facile

Calculer plus simplement :

    \[ \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\]

et proposer une généralisation.

exercice 3 facile

Prouver que, pour tout entier n\geqslant2 :

    \[ \sum_{k=1}^{n}k!\leqslant n!+\left(n-1\right)!+\left(n-2\right)\left(n-2\right)!\]

En déduire le calcul de :

    \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{n}k!\]

Prouver de deux manières que :

    \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\ln\left(2\right)\]

On note F_{n} le n-ème nombre de Fibonacci. On rappelle que :

  • F_{0}=0 et F_{1}=1
  • \forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}

Calculer :

    \[ \sum_{n=1}^{+\infty}\,\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{F_{n}\,F_{n+1}}\]

Calculer plus simplement la somme :

    \[ S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\binom{n}{k}}{k+1}\]

Soit n\in\mathbb{N}^{\star} et soient a_{1},\cdots,a_{n}\in\left]-1,+\infty\right[ tels que a_{1}+\cdots+a_{n}\geqslant0. Etablir :

    \[ \prod_{k=1}^{n}\left(1+a_{k}\right)\leqslant\sum_{k=0}^{n}\frac{S^{k}}{k!}\]


où l’on a posé {\displaystyle S=\sum_{i=1}^{n}a_{i}.}

Soit E un ensemble fini de cardinal n. Combien peut-on former de couples \left(A,B\right) de parties de E vérifiant A\subset B ?

exercice 9 difficile

Soit n\in\mathbb{N}. On lance plusieurs fois de suite une pièce de monnaie équilibrée, jusqu’à obtenir un total de n+1 “pile” ou de n+1 “face”. On note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires. Déterminer la loi de X et en déduire le calcul de :

    \[ S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\binom{n+k}{k}}{2^{k}}\]


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Cet article a 1 commentaire

  1. un article sur les sommes doubles et les familles sommables serait le bienvenu merci

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