Exercices sur l’indépendance linéaire – 01

icone-math-OS-Exos
exercice 1 facile

On définit trois applications f,g,h sur \mathbb{R} par :

    \[ \forall x\in\mathbb{R},\thinspace\left\{\begin{array}{ccc} f\left(x\right) & = & x\sin\left(x\right)\\ g\left(x\right) & = & x^{2}\sin\left(2x\right)\\ h\left(x\right) & = & x^{3}\sin\left(3x\right) \end{array}\right. \]


Montrer que la famille \left(f,g,h\right) est libre dans \mathbb{R}^{\mathbb{R}}.

exercice 2 facile

On définit trois applications F,G,H sur \mathbb{R}^{2} par :

    \[ \forall\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace\left\{\begin{array}{ccc} F\left(x,y\right) & = & \sin\left(2x+3y\right)\\ G\left(x,y\right) & = & \sin\left(x+2y\right)\cos\left(x+y\right)\\ H\left(x,y\right) & = & \cos\left(x+2y\right)\sin\left(x+y\right) \end{array}\right. \]


La famille \left(F,G,H\right) est-elle libre dans \mathbb{R}^{\mathbb{R}^{2}} ?

exercice 3 facile

Montrer que les trois applications f,g,h définies sur \mathbb{R} par :

    \[ \forall x\in\mathbb{R},\thinspace\left\{\begin{array}{ccc} f\left(x\right) & = & \sin\left(x+1\right)\\ g\left(x\right) & = & \sin\left(x+2\right)\\ h\left(x\right) & = & \sin\left(x+3\right) \end{array}\right. \]


forment une famille liée.

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et soient u,v,w trois vecteurs de E.

  1. Vrai ou Faux ? Si \left(u,v,w\right) est libre, alors \left(u,v\right), \left(u,w\right) et \left(v,w\right) sont libres.
  2. Vrai ou Faux ? Si \left(u,v\right), \left(u,w\right) et \left(v,w\right) sont libres, alors \left(u,v,w\right) est libre.
  3. Vrai ou Faux ? Si \left(u,v\right) et \left(u,w\right) sont liées alors \left(v,w\right) est liée.

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et soit \left(x_{1},\cdots,x_{n},y\right) un famille de n+1 vecteurs.
Montrer que si \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right) est libre et si \left(x_{1},\cdots,x_{n},y\right) est liée, alors y\in\text{vect}\left\{x_{1},\cdots,x_{n}\right\} .

Soient E,F des \mathbb{K}-espaces vectoriels et soit u:E\rightarrow F une application linéaire.
On considère une famille X=\left(x_{1},\cdots,x_{q}\right) de vecteurs de E.
On note Y=\left(u\left(x_{1}\right),\cdots,u\left(x_{q}\right)\right).
Montrer que :

  1. si u est injective et si X est libre, alors Y est libre.
  2. si u est surjective et X est génératrice de E, alors Y est génératrice de F.

Soit P\left(X\right)\in\mathbb{R}\left[X\right] un polynôme de degré n et soient t_{0},\cdots,t_{n} des réels tous distincts.
Montrer que la famille \left(P\left(X+t_{0}\right),\cdots,P\left(X+t_{n}\right)\right) est une base de \mathbb{R}_{n}\left[X\right].

Soit E un \mathbb{K}-ev de dimension n\geqslant1 et soient \varphi_{1},\cdots,\varphi_{n} des formes linéaires sur E.
Montrer l’équivalence des assertions :

  1. \left(\varphi_{1},\cdots,\varphi_{n}\right) est libre
  2. \forall\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{K}^{n},\,\exists v\in E,\,\forall i\in\{1,\ldots,n\},\,\varphi_{i}\left(v\right)=x_{i}
exercice 9 difficile

On considère un \mathbb{R}-espace vectoriel normé E.
Soient \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} et \left(y_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} deux suites convergentes à termes dans E.
Leurs limites respectives sont notées a et b.

Montrer que si la famille \left(x_{n},y_{n}\right) est liée pour tout n\in\mathbb{N}, alors la famille \left(a,b\right) est aussi liée.

La réciproque est-elle vraie ?


Cliquer ici pour accéder aux indications
Cliquer ici pour accéder aux solutions

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  

Laisser un commentaire

Fermer le menu