Indications pour démarrer les exercices sur les calculs de sommes (fiche 02).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
On peut minorer une somme de nombre réels par le produit , où :
désigne le nombre de termes
désigne le plus petit terme
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
On peut tout à fait calculer pour de petites valeurs de
ce qui permet de conjecturer une formule générale que l’on établit ensuite par récurrence. C’est ce qui est fait à l’exercice n° 7 de cette fiche d’exercices.
On demande ici d’envisager une approche différente. Avez-vous essayé de regrouper les termes deux par deux ?
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-3-small.png)
Si l’on connaît les expressions simplifiées pour chacune des sommes
![Rendered by QuickLaTeX.com k\left(k+1\right)\left(k+2\right),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bae5d7eefcd3ec599416bb15779c58cd_l3.png)
Faisable, mais franchement pas drôle…
Il existe une solution plus élégante, qui consiste à rendre la sommation télescopique.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-4-small.png)
Une somme de nombres réels est certainement majorée par le produit , où
et
désignent respectivement le nombre de termes et le plus grand terme.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Utiliser l’identité de Cassini (voir par exemple ici) pour transformer la somme partielle de cette série et faire apparaître une sommation télescopique.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
On pourra trouver une source d’inspiration dans cette vidéo
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Utiliser l’inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique pour réels positifs. On rappelle que si
alors :
Pour une preuve, voir par exemple cet article
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Pour fixée, les parties
de
vérifiant
sont de la forme
avec
Il existe donc autant de telles parties que de parties de
Or, on sait que si alors
possède
sous-ensembles.
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
La variable aléatoire peut prendre toutes les valeurs entières comprises entre
et
(inclusivement).
Etant donné dans quelles circonstances précises l’événement
se réalise-t-il ?