Exercices sur le second degré – 02

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Préambule

Rappelons ce qu’il faut savoir concernant le signe du trinôme T\left(x\right)=ax^{2}+bx+c (avec a,b,c\in\mathbb{R} et a\neq0). On note X\thinspace\#\thinspace Y pour indiquer que X et Y sont de même signe. Lorsque \Delta>0, on note \alpha<\beta les racines de T.

  • si \Delta<0, alors T\left(x\right)\:\#\thinspace a pour tout x\in\mathbb{R}
  • si \Delta=0, alors T\left(-\frac{b}{2a}\right)=0 et T\left(x\right)\thinspace\#\thinspace a pour tout x\in\mathbb{R}-\left\{ -\frac{b}{2a}\right\}
  • si \Delta>0, alors :
    • T\left(x\right)\thinspace\#\thinspace a pour tout x\in\left]-\infty,\alpha\right[\cup\left]\beta,+\infty\right[
    • T\left(x\right)\thinspace\#\thinspace-a pour tout x\in\left]\alpha,\beta\right[
    • T\left(\alpha\right)=T\left(\beta\right)=0

Rappelons aussi les relations entre coefficients et racines :

    \[ \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\qquad\alpha\beta=\frac{c}{a} \]

 

Résoudre chacune des inéquations :

    \[ \begin{matrix} x^{2}<10x & ; & x^{2}\geqslant2x-1 & ; & x^{2}-6x+8>0\\ \\ x^{2}-x+1>0 & ; & 7x^{2}-11x+4\leqslant0 & ; & 70x^{2}-53x+10<0 \end{matrix} \]

 

Qu’y-a-t-il d’incorrect dans la résolution suivante de l’inéquation :

    \[ \frac{x}{x-1}<\frac{2x-1}{x+2} \]

On commence par effectuer les produits en croix … ce qui donne :

    \[ x\left(x+2\right)<\left(x-1\right)\left(2x-1\right) \]

c’est-à-dire, après développement et simplification : x^{2}-5x+1>0. Le discriminant de ce dernier trinôme est :

    \[ \Delta=\left(-5\right)^{2}-4\times1\times1=21>0 \]

d’où ses racines :

    \[ x_{1}=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\qquad x_{2}=\frac{5+\sqrt{21}}{2} \]

Ce trinôme étant positif à l’extérieur de l’intervalle \left[x_{1},x_{2}\right], l’ensemble des solutions de l’inéquation proposée est :

    \[ \mathcal{S}=\left]-\infty,x_{1}\right[\cup\left]x_{2},+\infty\right[ \]

 

Résoudre chacune des inéquations :

    \[ \begin{matrix} {\displaystyle x+2>\frac{1}{x}} & ; & {\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{2x+1}>\frac{5}{2}} & ; & {\displaystyle \frac{x\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}>1} \end{matrix} \]

 

Décider, pour chacun des trois nombres :

    \[ A=0,02\qquad B=0,03\qquad C=-0,03 \]

s’il est compris (ou non) entre les racines du trinôme T\left(x\right)=1000x^{2}+4x-1, mais sans calculer ces racines.

 

Comment choisir le réel m de telle sorte que l’équation (d’inconnue x) :

    \[ mx^{2}-\left(m+1\right)x+m+2=0 \]

possède deux solutions distinctes ?

 

Comment choisir le réel m de telle sorte que l’équation (d’inconnue x) :

    \[ \left(m^{2}+1\right)x^{2}-\left(2m+1\right)x+1=0 \]

possède deux solutions distinctes, dont la somme dépasse strictement \frac{1}{2} ?

 

On note \alpha,\beta les solutions de l’équation 7x^{2}+3x-1=0. Sans chercher à déterminer séparément \alpha et \beta, calculer :

    \[ \alpha^{2}+\beta^{2},\qquad\alpha^{3}+\beta^{3},\qquad\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \]

 

Dans ce qui suit, les nombres réels a,c sont fixés (avec a\neq0) tandis que b est variable. On note S le sommet de la parabole d’équation y=ax^{2}+bx+c. Quel est le lieu de S lorsque b varie ?

 

Soient a,b,c des entiers impairs. On suppose que l’équation ax^{2}+bx+c=0 possède deux solutions réelles. Montrer que celles-ci sont irrationnelles.

 

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