Exercices sur le second degré – 02

Neuf énoncés d’exercices sur le second degré (fiche 02).

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Avant tout, rappelons ce qu’il faut savoir concernant le signe d’un trinôme du second degré.

Posons pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[\boxed{T\left(x\right)=ax^{2}+bx+c}\]

avec a,b,c\in\mathbb{R} et a\neq0. Comme d’habitude, on note \Delta le discriminant de T défini par :

    \[\Delta=b^2-4ac\]

Lorsque \Delta>0, on note \alpha<\beta les racines de T.

Illustration dynamique

Le graphe du trinôme x\mapsto ax^2+bx+c est tracé :

  • en rouge si a<0,
  • en vert si a=0,
  • en bleu si a>0

Lorsque \Delta>0, les deux racines \alpha,\beta sont matérialisées par deux petits disques centrés respectivement en (\alpha,0) et en (\beta,0).

La valeur du discriminant est affichée en rouge ou en bleu (et exceptionnellement en vert …), selon son signe.

Les sliders permettent d’apprécier comment se déforme la courbe lorsque a,b,c varient.

On note X\thinspace\#\thinspace Y pour indiquer que X et Y sont de même signe.

  • si \Delta<0, alors T\left(x\right)\:\#\thinspace a pour tout x\in\mathbb{R}
  • si \Delta=0, alors T\left(-\frac{b}{2a}\right)=0 et T\left(x\right)\thinspace\#\thinspace a pour tout x\in\mathbb{R}-\left\{ -\frac{b}{2a}\right\}
  • si \Delta>0, alors :
    • T\left(x\right)\thinspace\#\thinspace a pour tout x\in\left]-\infty,\alpha\right[\cup\left]\beta,+\infty\right[
    • T\left(x\right)\thinspace\#\thinspace-a pour tout x\in\left]\alpha,\beta\right[
    • T\left(\alpha\right)=T\left(\beta\right)=0

Rappelons aussi les relations entre coefficients et racines :

    \[\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\qquad\alpha\beta=\frac{c}{a}\]

exercice 1 facile

Résoudre chacune des inéquations :

    \[\begin{matrix}x^{2}<10x & ; & x^{2}\geqslant2x-1 & ; & x^{2}-6x+8>0\\\\x^{2}-x+1>0 & ; & 7x^{2}-11x+4\leqslant0 & ; & 70x^{2}-53x+10<0\end{matrix}\]

exercice 2 facile

Qu’y-a-t-il d’incorrect dans la résolution de l’inéquation suivante ?

    \[\frac{x}{x-1}<\frac{2x-1}{x+2}\]

On commence par effectuer les produits en croix … ce qui donne l’inéquation équivalente :

    \[x\left(x+2\right)<\left(x-1\right)\left(2x-1\right) \]

c’est-à-dire, après développement et simplification : x^{2}-5x+1>0. Le discriminant de ce dernier trinôme est :

    \[\Delta=\left(-5\right)^{2}-4\times1\times1=21>0\]

d’où ses racines :

    \[\alpha=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\qquad \beta=\frac{5+\sqrt{21}}{2}\]

Ce trinôme étant positif à l’extérieur de l’intervalle \left[\alpha,\beta\right], l’ensemble des solutions de l’inéquation proposée est :

    \[\mathcal{S}=\left]-\infty,\alpha\right[\cup\left]\beta,+\infty\right[\]

exercice 3 facile

Résoudre chacune des inéquations :

    \[\begin{matrix}{\displaystyle x+2>\frac{1}{x}} & ; & {\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{2x+1}>\frac{5}{2}} & ; & {\displaystyle \frac{x\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}>1}\end{matrix}\]

Décider, pour chacun des trois nombres :

    \[A=0,02\qquad B=0,03\qquad C=-0,03\]

s’il est compris (ou non) entre les racines du trinôme T\left(x\right)=1000x^{2}+4x-1, mais sans calculer ces racines.

Comment choisir le réel m de telle sorte que l’équation (d’inconnue x) :

    \[mx^{2}-\left(m+1\right)x+m+2=0\]

possède deux solutions distinctes ?

Comment choisir le réel m de telle sorte que l’équation (d’inconnue x) :

    \[\left(m^{2}+1\right)x^{2}-\left(2m+1\right)x+1=0\]

possède deux solutions distinctes \alpha et \beta, telles que \displaystyle{\alpha+\beta>\frac{1}{2}} ?

On note \alpha,\beta les solutions de l’équation 7x^{2}+3x-1=0. Sans chercher à déterminer séparément \alpha et \beta, calculer :

    \[\alpha^{2}+\beta^{2},\qquad\alpha^{3}+\beta^{3},\qquad\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\]

Dans ce qui suit, les nombres réels a,c sont fixés (avec a\neq0) tandis que b est variable. On note S le sommet de la parabole d’équation y=ax^{2}+bx+c. Quel est le lieu de S lorsque b varie ?

exercice 9 difficile

Soient a,b,c des entiers impairs. On suppose que l’équation ax^{2}+bx+c=0 possède deux solutions réelles. Montrer que celles-ci sont irrationnelles.

Cliquer ici pour accéder aux indications
Cliquer ici pour accéder aux solutions

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