Exercices sur le second degré - 02

Observation préliminaire

Rappelons ce qu’il faut savoir concernant le signe du trinôme $T\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ (avec $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\neq0$ ).

Comme d’habitude, on note $\Delta$ le discriminant de $T$ défini par :

$\Delta=b^2-4ac$

Lorsque $\Delta>0,$ on note $\alpha<\beta$ les racines de $T.$

On note $X\thinspace\#\thinspace Y$ pour indiquer que $X$ et $Y$ sont de même signe.

si $\Delta<0,$ alors $T\left(x\right)\:\#\thinspace a$ pour tout $x\in\mathbb{R}$
si $\Delta=0,$ alors $T\left(-\frac{b}{2a}\right)=0$ et $T\left(x\right)\thinspace\#\thinspace a$ pour tout $x\in\mathbb{R}-\left\{ -\frac{b}{2a}\right\}$
si alors :
- $T\left(x\right)\thinspace\#\thinspace a$ pour tout $x\in\left]-\infty,\alpha\right[\cup\left]\beta,+\infty\right[$
- $T\left(x\right)\thinspace\#\thinspace-a$ pour tout $x\in\left]\alpha,\beta\right[$
- $T\left(\alpha\right)=T\left(\beta\right)=0$

Rappelons aussi les relations entre coefficients et racines :

$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\qquad\alpha\beta=\frac{c}{a}$

Résoudre chacune des inéquations :

$\begin{matrix}x^{2}<10x & ; & x^{2}\geqslant2x-1 & ; & x^{2}-6x+8>0\\\\x^{2}-x+1>0 & ; & 7x^{2}-11x+4\leqslant0 & ; & 70x^{2}-53x+10<0\end{matrix}$

Qu’y-a-t-il d’incorrect dans la résolution de l’inéquation suivante ?

$\frac{x}{x-1}<\frac{2x-1}{x+2}$

On commence par effectuer les produits en croix … ce qui donne l’inéquation équivalente :

$x\left(x+2\right)<\left(x-1\right)\left(2x-1\right)$

c’est-à-dire, après développement et simplification : $x^{2}-5x+1>0$ . Le discriminant de ce dernier trinôme est :

$\Delta=\left(-5\right)^{2}-4\times1\times1=21>0$

d’où ses racines :

$\alpha=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\qquad \beta=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$

Ce trinôme étant positif à l’extérieur de l’intervalle $\left[\alpha,\beta\right],$ l’ensemble des solutions de l’inéquation proposée est :

$\mathcal{S}=\left]-\infty,\alpha\right[\cup\left]\beta,+\infty\right[$

Résoudre chacune des inéquations :

$\begin{matrix}{\displaystyle x+2>\frac{1}{x}} & ; & {\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{2x+1}>\frac{5}{2}} & ; & {\displaystyle \frac{x\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}>1}\end{matrix}$

Décider, pour chacun des trois nombres :

$A=0,02\qquad B=0,03\qquad C=-0,03$

s’il est compris (ou non) entre les racines du trinôme $T\left(x\right)=1000x^{2}+4x-1,$ mais sans calculer ces racines.

Comment choisir le réel m de telle sorte que l’équation (d’inconnue $x$ ) :

$mx^{2}-\left(m+1\right)x+m+2=0$

possède deux solutions distinctes ?

Comment choisir le réel $m$ de telle sorte que l’équation (d’inconnue $x$ ) :

$\left(m^{2}+1\right)x^{2}-\left(2m+1\right)x+1=0$

possède deux solutions distinctes $\alpha$ et $\beta$ , telles que $\displaystyle{\alpha+\beta>\frac{1}{2}}$ ?

On note $\alpha,\beta$ les solutions de l’équation $7x^{2}+3x-1=0.$ Sans chercher à déterminer séparément $\alpha$ et $\beta,$ calculer :

$\alpha^{2}+\beta^{2},\qquad\alpha^{3}+\beta^{3},\qquad\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$

Dans ce qui suit, les nombres réels $a,c$ sont fixés (avec $a\neq0$ ) tandis que $b$ est variable. On note $S$ le sommet de la parabole d’équation $y=ax^{2}+bx+c.$ Quel est le lieu de $S$ lorsque $b$ varie ?

Soient $a,b,c$ des entiers impairs. On suppose que l’équation $ax^{2}+bx+c=0$ possède deux solutions réelles. Montrer que celles-ci sont irrationnelles.

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