Neuf énoncés d’exercices sur les calculs de sommes (fiche 02).
Prouver, le plus simplement possible, que :
![\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=+\infty\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7deba644396d4f18ee52efdbe6f736fd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Trouver, sans chercher à raisonner par récurrence, une formule plus simple pour :
![\[ C_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}k\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f48a2091b0ef7c0ffc6b37ba013bd87f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Calculer plus simplement :
![\[ \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc9d74715bde4027c884d6578becab6f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Prouver que, pour tout entier 
:
![\[ \sum_{k=1}^{n}k!\leqslant n!+\left(n-1\right)!+\left(n-2\right)\left(n-2\right)!\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4939f73292c287178bcc1665d075a1ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{n}k!\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-579c02832a4e2ba421232f5400767d8d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
On note 
le 
ème nombre de Fibonacci. On rappelle que :
et 
Calculer :
![\[ \sum_{n=1}^{+\infty}\,\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{F_{n}\,F_{n+1}}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1851132cf4009eb014f770a6450ce050_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Calculer plus simplement la somme :
![\[ S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\binom{n}{k}}{k+1}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79b629717df5470abbac8c505ec92a45_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soit 
et soient ![a_{1},\cdots,a_{n}\in\left]-1,+\infty\right[](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-396a4cc919ffcd7fb37d4fafcf3dd87d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
tels que 
Etablir :
![\[ \prod_{k=1}^{n}\left(1+a_{k}\right)\leqslant\sum_{k=0}^{n}\frac{S^{k}}{k!}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bd5ba44a1bcddfc46e1bb8bb98654c1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
où l’on a posé
Soit 
un ensemble fini de cardinal 
Combien peut-on former de couples 
de parties de vérifiant 
?
Soit 
On lance plusieurs fois de suite une pièce de monnaie équilibrée, jusqu’à obtenir un total de 
« pile » ou de « face ». On note 
la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires. Déterminer la loi de et en déduire le calcul de :
![\[ S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\binom{n+k}{k}}{2^{k}}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7e54518e186434d2f1a5a365d7e0ee1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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un article sur les sommes doubles et les familles sommables serait le bienvenu merci