Exercices sur la divisibilité – 01

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exercice 1 facile

Vérifier, à l’aide des “tests itérés” présentés ici, que :

  • 864\thinspace197\thinspace523 est multiple de 7
  • 12\thinspace839\thinspace506\thinspace173 est multiple de 13.
  • 2\thinspace062\thinspace340\thinspace577\thinspace489 est multiple de 17.
  • 6\thinspace107\thinspace218\thinspace329\thinspace426 est multiple de 19.
exercice 2 facile

Préciser, pour chacun des entiers suivants, s’il s’agit :

  • d’un multiple de 3,
  • ou d’un multiple de 4,
  • ou d’un multiple de 7,
  • ou d’un multiple de 11

le “ou” étant évidemment inclusif !

    \[N_{1}=444\thinspace444\]


    \[N_{2}=110\thinspace077\]


    \[N_{3}=362\thinspace287\]


    \[N_{4}=999\thinspace999\thinspace994\]

exercice 3 facile

Etablir les règles usuelles de divisibilité par 3 et par 9, énoncées ici.

Combien existe-t-il de multiples de 2\thinspace357 qui soient compris entre 10^{5} et 10^{9} ?

Quels sont les entiers n\geqslant1 pour lesquels 3^{n-1}+5^{n-1}\mid3^{n}+5^{n} ?

On note F_{n} le n-ème nombre de Fermat : F_{n}=2^{2^{n}}+1.

Montrer que, pour n\geqslant2, le chiffre des unités de F_{n} ne dépend pas de n.

Soient a,b,c des entiers naturels.

Montrer que si a^{3}+b^{3}+c^{3} est multiple de 7, alors il en va de même pour abc.

Soient a,b\in\mathbb{Z} et n\in\mathbb{N}^{\star} tels que a\equiv b\pmod{n}.

Montrer que a^{n}\equiv b^{n}\pmod{n^{2}}.

exercice 9 difficile

Déterminer les entiers n\in\mathbb{N}^{\star} pour lesquels le produit des entiers de 1 à n est un multiple de la somme des entiers de 1 à n.


Cliquer ici pour accéder aux indications.
Cliquer ici pour accéder aux solutions.

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