Exercices sur la récurrence - 02

Neuf énoncés d’exercices sur le raisonnement par récurrence (fiche 02).

On pose, pour tout $x\geqslant0$ :

$f\left(x\right)=\frac{1}{1+x}$

On désigne par $f^{n}$ la n-ème itérée de $f,$ qui est définie comme suit, par récurrence.

Pour tout $x\geqslant0$ :

$f^{0}\left(x\right)=x\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace f^{n+1}\left(x\right)=f\left(f^{n}\left(x\right)\right)$

Conjecturer, puis démontrer par récurrence, une formule générale.

Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\left|\sin\left(nx\right)\right|\leqslant n\left|\sin\left(x\right)\right|$

Si $E$ est un ensemble, on note $\mathcal{P}\left(E\right)$ l’ensemble de ses parties.

Pour tout $X\in\mathcal{P}\left(\llbracket1,n\rrbracket\right)-\left\{ \emptyset\right\} ,$ on pose :

$f\left(X\right)=\prod_{x\in X}x$

Calculer, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$S_{n}=\sum_{X\in\mathcal{P}\left(\llbracket1,n\rrbracket\right)-\left\{ \emptyset\right\} }\frac{1}{f\left(X\right)}$

$S_{n}$ est la somme des inverses des produits des éléments des diverses parties non vides de $\llbracket1,n\rrbracket.$

Montrer que, pour tout $p\in\mathbb{N},$ il existe une unique fonction polynomiale de degré $p+1$ telle que :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\sum_{k=1}^{n}k^{p}=S_{p}\left(n\right)$

Expliciter $S_{5}.$

Démontrer par récurrence l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

$\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leqslant\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)$

pour tout entier $n\geqslant2$ et tous n-uplets $\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)$ et $\left(y_{1},\cdots,y_{n}\right)$ de réels.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ (ni vide, ni réduit à un singleton) et soit $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ une application.

On suppose que $f$ est convexe, c’est-à-dire :

$f\left(\left(1-t\right)x+ty\right)\leqslant\left(1- t\right)f\left(x\right)+t\thinspace f\left(y\right)$

pour tout $t\in[0,1]$ et tout couple $(x,y)$ d’éléments de $I$ .

On note, pour tout entier $n\geqslant2$ :

$\Delta_{n}=\left\{ \left(t_{1},\cdots,t_{n}\right)\in\left[0,+\infty\right[^{n};\thinspace\sum_{i=1}^{n}t_{i}=1\right\}$

Etablir l’inégalité de Jensen discrète :

$f\left(\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)\leqslant\sum_{i=1}^{n}t_{i}\thinspace f\left(x_{i}\right)$

valable pour tout entier $n\geqslant2$ , tout $\left(t_{1},\cdots,t_{n}\right)\in\Delta_{n}$ et tout $\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in I^{n}$ .

Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $\mathbb{K}.$ Etant donné un endomorphisme $u\in\mathcal{L}\left(E\right)$ (c’est-à-dire une application linéaire de $E$ dans $E),$ on appelle vecteur propre pour $u$ tout vecteur $x\in E,$ non nul et tel qu’il existe un scalaire $\lambda\in\mathbb{K}$ vérifiant $u\left(x\right)=\lambda x.$ Le scalaire $\lambda$ est alors unique : on l’appelle la valeur propre associée à $x$ (pour l’endomorphisme $u).$

Un vecteur propre pour $u$ est donc un vecteur $x\neq0_E$ tel que la famille $\left(x,\thinspace u\left(x\right)\right)$ est liée.

Montrer par récurrence que si $\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)$ est une famille de vecteurs propres pour $u,$ associés à des valeurs propres toutes distinctes, alors cette famille est libre.

Soit $E$ un espace vectoriel. Montrer que pour tout entier $n\geqslant1,$ si $\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)$ est une famille quelconque de vecteurs de $E$ et si pour chaque $i\in\llbracket1,n\rrbracket} ,$ le vecteur $y_{i}$ est combinaison linéaire des vecteurs $x_{1},\cdots,x_{n}$ alors la famille $\left(y_{1},\cdots,y_{n+1}\right)$ est liée.

On se propose d’établir l’inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique, à savoir :

$\left(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}\leqslant\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$

pour tout entier $n\geqslant2$ et tout n-uplet $\left(x_1,\ldots,x_n\right)$ de réels strictement positifs.

On va procéder par une récurrence directe (par contraste avec la preuve de Cauchy, qui repose sur une récurrence « à l’envers »).

1) Etablir l’inégalité au rang $n=2,$ afin d’initialiser la récurrence.
2) On suppose l’inégalité vraie au rang $n,$ pour un certain $n\geqslant2.$ Soient alors $x_{1},\cdots,x_{n+1}>0$ et soit $A$ leur moyenne arithmétique :

$A=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}$

a) Que peut-on dire si $x_{i}=A$ pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$ ?

b) On suppose désormais le contraire. Montrer qu’il existe des indices $i,j$ tels que :

$1\leqslant i,j\leqslant n+1\quad\text{et}\quad\left\{ \begin{array}{ccc}x_{i} & < & A\\ x_{j} & > & A\end{array}\right.$

c) Vérifier que :

$A\left(x_{i}+x_{j}-A\right)>x_{i}x_{j}$

d) Conclure quant à l’hérédité, en appliquant l’hypothèse de récurrence à la liste de $n$ réels strictement positifs obtenue à partir de $\left(x_{1},\cdots,x_{n+1}\right)$ en retirant $x_{i}$ et $x_{j}$ en insérant $x_{i}+x_{j}-A$ (qui est strictement positif d’après le point précédent).

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