Indications pour démarrer les exercices sur le raisonnement par récurrence (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
L’initialisation ne devrait poser aucun problème. Pour l’hérédité, on suppose que puis on écrit :
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Pour il suffit de développer
Pour
l’hérédité : on suppose que pour un certain
(avec
fixé) et on multiplie chaque membre de cette inégalité
par un même nombre …
On peut éviter la récurrence en appliquant la formule du binôme.
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-3-small.png)
Vérifier « bêtement » que l’inégalité est vraie au rang
puis effectuer une récurrence du second ordre.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Pour commencer, étudier les variations de l’application
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Pour initialiser la récurrence, développer .
Pour l’hérédité, partir de l’inégalité au rang multiplier chaque membre par
puis développer.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Effectuer une récurrence d’ordre 2 et utiliser la relation :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-7-small.png)
Pour le dernier point (avec la partie entière), distinguer deux cas selon la parité de
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Il pourra être utile de noter que :
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Il s’agit de montrer le résultat suivant :
Soient et
ses diviseurs. Notons
le nombre de diviseurs de
Alors :
On peut raisonner par récurrence sur le nombre de facteurs premiers de