Exercices sur la partie entière - 01

On note $\lfloor X\rfloor$ la partie entière par défaut du réel $X$ et $\lceil X\rceil$ sa partie entière par excès.

Rappelons que, par définition :

$\lfloor X\rfloor=\max\{k\in\mathbb{Z};\,k\leqslant x\}$

$\lceil X\rceil=\min\{k\in\mathbb{Z};\,k\geqslant x\}$

Simplifier, pour tout $n\in\mathbb{Z},$ l’expression :

$\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor +\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil$

Comparer les entiers :

$\left\lceil\frac{n-1}2\right\rceil\quad\text{et}\quad\left\lfloor\frac n2\right\rfloor$

Soient $a,b,q$ des entiers naturels non nuls. On suppose que $a\leqslant b.$

Combien existe-t-il de multiples de $q$ compris, au sens large, entre $a$ et $b$ ?

On définit la “partie fractionnaire” d’un quelconque $x\in\mathbb{R}$ par $\left\langle x\right\rangle =x-\left\lfloor x\right\rfloor .$

Prouver que la fonction $x\mapsto\left(-1\right)^{\left\lfloor x\right\rfloor }\left\langle x\right\rangle$ est périodique.

Calculer, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\,\frac{1}{n^{2}}\,\sum_{k=1}^{n}\,\left\lfloor kx\right\rfloor$

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star},$ l’entier $\left\lfloor 2\sqrt{n^{2}+n+1}\right\rfloor$ est impair.

On note $D$ l’ensemble de définition de la fonction tangente. Montrer que pour tout $x\in D,$ il existe un entier $n\in\mathbb{Z}$ (qu’on exprimera en fonction de $x)$ tel que $\arctan\left(\tan\left(x\right)\right)=x-n\pi.$

Comparer, pour tout réel positif $x,$ les entiers $\left\lfloor \sqrt{x}\right\rfloor$ et $\left\lfloor \sqrt{\left\lfloor x\right\rfloor }\right\rfloor .$

Déterminer les applications $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ telles que :

$\forall\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace f\left(\left\lfloor x\right\rfloor y\right)=f\left(x\right)\left\lfloor f\left(y\right)\right\rfloor$

Etablir la convergence de l’intégrale impropre :

$E=\int_{0}^{1}\,\left(\frac{1}{t}-\left\lfloor \frac{1}{t}\right\rfloor \right)\,dt$

et la calculer (le résultat fait intervenir une célèbre constante mathématique).

En déduire la valeur de :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\,\frac{1}{n}\,\sum_{k=1}^{n}\,\frac{n\textrm{ mod }k}{k}$

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