
On note la partie entière par défaut du réel
et
sa partie entière par excès.
Rappelons que, par définition :

Simplifier, pour tout l’expression :
Comparer les entiers :

Soient des entiers naturels non nuls. On suppose que
Combien existe-t-il de multiples de compris, au sens large, entre
et
?

On définit la “partie fractionnaire” d’un quelconque par
Prouver que la fonction est périodique.

Calculer, pour tout :

Montrer que, pour tout l’entier
est impair.

On note l’ensemble de définition de la fonction tangente. Montrer que pour tout
il existe un entier
(qu’on exprimera en fonction de
tel que

Comparer, pour tout réel positif les entiers
et

Déterminer les applications telles que :

Etablir la convergence de l’intégrale impropre :
et la calculer (le résultat fait intervenir une célèbre constante mathématique).
En déduire la valeur de :
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