Challenge 64 : intégrale d’un produit vs. produit d’intégrales

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Soit n un entier tel que n\geqslant2 et soient a_{1},\cdots,a_{n} et b_{1},\cdots,b_{n} des réels.

Vérifier que :

\displaystyle{\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\left(a_{j}-a_{i}\right)\left(b_{j}-b_{i}\right)=n\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}-\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\right)}

En déduire que si f,g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R} sont croissantes alors :

\displaystyle{\left(\int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace dt\right)\left(\int_{a}^{b}g\left(t\right)\thinspace dt\right)\leqslant\left(b-a\right)\int_{a}^{b}f\left(t\right)g\left(t\right)\thinspace dt}


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