Exercices sur les nombres premiers – 02

Neuf énoncés d’exercices sur la notion de nombre premier (fiche 02) …

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exercice 1 facile

Décomposer 2^{18}+1 en produit de facteurs premiers.

Essayer de ne pas utiliser de calculette 😜

exercice 2 facile

Soit n\geqslant2 un entier. On suppose que n n’est divisible par aucun entier d tel que 1<d\leqslant\sqrt[3]{n}.

Montrer que n est soit premier soit le produit de deux nombres premiers.

exercice 3 facile

Ecrire en Python une fonction qui renvoie la liste croissante (au sens large) des facteurs premiers d’un entier n\geqslant2.

Existe-t-il des entiers naturels n pour lesquels 2^{2^{n}}+5 est un nombre premier ?

Montrer que si p est un nombre premier et si 0\leqslant k\leqslant p-1, alors :

    \[\binom{p-1}{k}\equiv\left(-1\right)^{k}\pmod{p}\]

On note p_{i} le i-ème nombre premier, pour tout i\in\mathbb{N}^{\star}.

Montrer que, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[p_{n+1}<\prod_{i=1}^{n}p_{i}\]

Montrer que pour tout p\in\mathbb{P}, il existe n\in\mathbb{N} tel que 2^{n}+3^{n}+6^{n}-1 soit multiple de p.

Soit p\in\mathbb{P}. Trouver un équivalent simple de v_{p}\left(n!\right) lorsque n\rightarrow+\infty.

On rappelle que, pour tout entier N>1, on note v_p\left(N\right) la valuation p-adique de N, c’est-à-dire l’exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de N.

exercice 9 difficile

Montrer qu’un nombre parfait pair, autre que 6, est congru à 1 modulo 9.

Si vous ne savez pas bien ce qu’est un nombre parfait, allez faire un petit tour par ici.


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