Image directe / Image réciproque d'une partie

Certaines notions figurant au programme de première année de CPGE scientifique ou de licence de mathématiques s’avèrent moins faciles à assimiler que d’autres. Si l’on dressait une liste des 10 concepts qui posent le plus de difficultés aux étudiants, je peux dire par expérience que la notion d’image directe ou d’image réciproque y figurerait en bonne place.

L’objet de cette note est de contribuer à éclaircir un peu cette question et d’en montrer quelques unes des principales utilisations, à ce niveau.

Pré-requis :

Notion d’application,
Image d’un élément de l’ensemble de départ,
Antécédents éventuels d’un élément de l’ensemble d’arrivée.

Pour réviser ces notions fondamentales, vous pouvez consultez les deux vidéos suivantes :

Correspondances, Fonctions, Applications – Partie 1
Correspondances, Fonctions, Applications – Partie 2

1 – Image directe : définition et premiers exemples

Considérons une application $f:X\rightarrow Y$ et une partie (= un sous-ensemble) $A$ de $X$ .

On appelle image directe de $A$ par $f$ l’ensemble :

$\boxed{f\left\langle A\right\rangle =\left\{ y\in Y;\thinspace\exists x\in A,\thinspace f\left(x\right)=y\right\}}$

$f\left\langle A\right\rangle$ est donc l’ensemble des éléments de $Y$ qui sont l’image d’un élément de $A$ .

Reformulons …

$f\left\langle A\right\rangle$ est l’ensemble des éléments de $Y$ possédant un antécédent dans $A$ .

On peut écrire tout aussi bien :

$\boxed{f\left\langle A\right\rangle =\left\{ f\left(x\right);\thinspace x\in A\right\}}$

ce qui se lit : « $f\left\langle A\right\rangle$ est l’ensemble des images par $f$ des éléments de $A$ . »

Si ce qui précède n’est pas parfaitement limpide, les exemples qui suivent peuvent aider…

Exemple 1

On commence, c’est incontournable, par un exemple avec des « patates » 🙂

Si l’on note $f$ l’application représentée par le diagramme ci-contre et $X,Y$ ses ensembles de départ et d’arrivée, alors :

$f\left\langle X\right\rangle =Y-\left\{ C\right\}$

$f\left\langle \left\{ a,b,c\right\} \right\rangle =\left\{ A,B\right\}$

$f\left\langle \left\{ c,d,e\right\} \right\rangle =\left\{ B,D\right\}$

Exemple 2

Pour $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N},\thinspace n\mapsto2n+1$ , il est clair que $f\left\langle \left\{0,2,7\right\} \right\rangle =\left{ 1,5,15\right}$ et que $f\left\langle \mathbb{N}\right\rangle$ est l’ensemble des entiers naturels impairs.

Revenons au cas général.
Formulons trois petites remarques concernant une application $f:X\rightarrow Y$ .

La condition $f\left\langle X\right\rangle =Y$ , lorsqu’elle est remplie, exprime la surjectivité de $f$ (tout élément de $Y$ possède au moins un antécédent par $f$ ).
Si $x\in X$ , alors $f\left\langle \left\{ x\right\} \right\rangle =\left\{ f\left(x\right)\right\}$ .
Enfin : $f\left\langle \emptyset\right\rangle =\emptyset$ .

Continuons maintenant notre exploration, avec de nouveaux exemples…

Exemple 3

Pour $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x^{2}$ , il est clair que $g\left\langle \mathbb{R}\right\rangle \subset\left[0,+\infty\right[$ .

En fait : $g\left\langle \mathbb{R}\right\rangle =\left[0,+\infty\right[$ , mais pour quelle raison ? Et sauriez-vous déterminer $g\left\langle \left[-1,2\right]\right\rangle$ ?

Réponses détaillées en ANNEXE, à la fin de l’article.

Exemple 4

Notons $E=\mathbb{N}-\left\{0,1\right\}$ et considérons l’application

$P:E^{2}\rightarrow\mathbb{N},\thinspace\left(a,b\right)\mapsto ab$

Alors $P\left\langle E^{2}\right\rangle$ est l’ensemble des entiers naturels pouvant s’écrire comme le produit de deux entiers strictement positifs, mais de manière non triviale (puisqu’aucun des deux facteurs ne peut valoir 1).

On voit ainsi que $P\left\langle E^{2}\right\rangle$ est l’ensemble des nombres composés (autrement dit : non premiers) et supérieurs ou égaux à 4.

2 – On marque une pause pour réfléchir à la notation

Vous vous demandez peut-être pourquoi je m’obstine à utiliser la notation $f\left\langle A\right\rangle$ alors qu’on trouve, dans pas mal de bouquins, la notation $f\left(A\right)$ .

La raison est simple. Il faut à tout prix éviter la confusion entre :

d’une part, l’image d’un élément
d’autre part, l’image directe d’une partie

Aucun risque, me direz-vous : un élément et un partie, ce n’est pas la même chose ! Le contexte doit donc permettre de savoir de quoi on parle.

Il faut reconnaître que c’est souvent le cas en pratique… mais pas toujours !

Considérons l’ensemble :

$X=\left\{ 0,1,2,\left\{ 0,1\right\} \right\}$

Manifestement, les entiers 0 et 1 sont des éléments de $X$ , donc l’ensemble $\left\{ 0,1\right\}$ est une partie de $X$ . Mais c’est aussi un élément de $X$ …! Dans ces conditions, si $f:X\rightarrow Y$ est une application (peu importe l’ensemble d’arrivée $Y$ ), il est indispensable de noter différemment l’image de l’élément $\left\{ 0,1\right\}$ et l’image directe de la partie $\left\{ 0,1\right\}$ .

Pas clair ? Allons au bout de cet exemple en définissant complètement $f$ :

$f\left(0\right)=3\qquad f\left(1\right)=4,\quad f\left(2\right)=5,\quad f\left(\left\{ 0,1\right\} \right)=6$

On voit que :

$f\left\langle \left\{ 0,1\right\} \right\rangle =\left\{ 3,4\right\} \neq6=f\left(\left\{ 0,1\right\} \right)$

J’espère vous avoir convaincu de la nécessité de noter différemment l’image d’un élément et l’image directe d’une partie.

3 – Deux exemples plus élaborés d’images directes

Exemple 5

Considérons l’application

$\varphi:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2},\thinspace\left(a,b\right)\mapsto\left(a+b,ab\right)$

et tâchons de déterminer $\varphi\left\langle \mathbb{R}^{2}\right\rangle$ .
Observons pour commencer que si $\left(x,y\right)\in\varphi\left\langle \mathbb{R}^{2}\right\rangle$ , alors il existe $\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}$ tel que :

$\left\{ \begin{array}{ccc}x & = & a+b\\y & = & ab\end{array}\right.$

ce qui impose :

$x^{2}-4y=\left(a+b\right)^{2}-4ab=\left(a-b\right)^{2}\geqslant0$

En notant $V=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2};\thinspace x^{2}-4y\geqslant0\right\}$ , on a donc $\varphi\left\langle \mathbb{R}^{2}\right\rangle \subset V$ .

Voyons maintenant ce qu’il en est de l’inclusion inverse…

Soit $\left(x,y\right)$ un couple de nombres réels vérifiant $x^{2}-4y\geqslant0$ .

Le discriminant de l’équation d’inconnue $T$ :

$T^{2}-xT+y=0$

étant positif ou nul, celle-ci possède deux racines $a$ et $b$ réelles (éventuellement confondues) et l’on sait (relations entre coefficients et racines) que :

$a+b=x\qquad\text{et}\qquad ab=y$

Si les « relations entre coefficients et racines » ne vous sont pas familières, vous pouvez simplement calculer :

$a+b=\frac{x-\sqrt{x^{2}-4y}}{2}+\frac{x+\sqrt{x^{2}-4y}}{2}=x$

ainsi que :

$ab=\frac{x-\sqrt{x^{2}-4y}}{2}\;\frac{x+\sqrt{x^{2}-4y}}{2}=\frac{x^{2}-\left(x^{2}-4y\right)}{4}=y$

L’inclusion inverse est établie et finalement :

$\boxed{\varphi\left\langle \mathbb{R}^{2}\right\rangle =V}$

Au passage, $V$ est l’union de la parabole d’équation $y=\frac{x^{2}}{4}$ et de son « extérieur ». Dans la figure ci-dessous, $V$ est colorié en bleu :

Exemple 6

On sait depuis près de 23 siècles qu’il existe une infinité de nombres premiers. La preuve proposée par Euclide (Eléments, Livre IX, proposition 20) se résume à ceci :

Si $p_{1},\cdots,p_{n}$ sont des nombres premiers tous distincts, alors l’entier $\displaystyle{1+\prod_{i=1}^{n}p_{i}}$ n’est divisible par aucun des $p_{i}$ pour $1\leqslant i\leqslant n$ . Ses facteurs premiers se situent donc tous hors de l’ensemble $\left\{ p_{1},\cdots,p_{n}\right\}$ .

Euclide prouve ainsi que l’ensemble $\left\{ p_{1},\cdots,p_{n}\right\}$ ne saurait contenir tous les nombres premiers, d’où il déduit que l’ensemble $\mathbb{P}$ des nombres premiers est infini.

Considérons maintenant l’application $\psi:\mathbb{N}^{\star}\rightarrow\mathbb{N}$ définie par récurrence, de la manière suivante :

$\psi\left(1\right)=2$
Pour tout entier $n\geqslant1$ , $\psi\left(n+1\right)$ désigne le plus petit facteur premier de
$Q_{n}=1+\prod_{i=1}^{n}\psi\left(i\right)$

Par construction et d’après l’argument d’Euclide, les nombres $\psi\left(n\right)$ sont tous premiers et sont deux à deux distincts. Calculons $\psi\left(n\right)$ pour les petites valeurs de $n$ :

$Q_{1}=1+2=3$ , donc $\psi\left(2\right)=3$
$Q_{2}=1+2\times3=7$ , donc $\psi\left(3\right)=7$
$Q_{3}=1+2\times3\times7=43$ , donc $\psi\left(4\right)=43$
$Q_{4}=1+2\times3\times7\times43=1807=13\times139$ , donc $\psi\left(5\right)=13$
$Q_{5}=1+2\times3\times7\times43\times13=23479=53\times443$ , donc $\psi\left(6\right)=53$
$Q_{6}=?\ldots$

C’est à vous !! Réponse en ANNEXE, à la fin d’article.

La suite $\left(\psi\left(n\right)\right)_{n\geqslant1}$ est connue sous le nom de suite de Euclide-Mullin (voir la note Recursive function theory (A modern look at a Euclidean idea) publiée en 1963 par A.A. Mullin dans le Bulletin of the American Mathematical Society).

Il est bien évident que $\psi\left\langle \mathbb{N}^{\star}\right\rangle \subset\mathbb{P}$ , mais la question de savoir si tout nombre premier est (ou non) un terme de cette suite demeure, depuis plus d’un demi-siècle, un problème ouvert !

En d’autres termes, on ne connaît pas à ce jour l’image directe de $\mathbb{N}^{\star}$ par $\psi$ .

4 – Image réciproque : définition et premiers exemples

Considérons une application $f:X\rightarrow Y$ et une partie (= un sous-ensemble) $B$ de $Y$ .
On appelle image réciproque de $B$ par $f$ l’ensemble :

$\boxed{f^{-1}\left\langle B\right\rangle =\left\{ x\in X;\thinspace f\left(x\right)\in B\right\}}$

Ceci se lit :

« $f^{-1}\left\langle B\right\rangle$ est l’ensemble des éléments $x$ de $X$ dont l’image par $f$ appartient à $B$ ».

Autrement dit : $f^{-1}\left\langle B\right\rangle$ est l’ensemble des antécédents par $f$ des éléments de $B$ .

Exemple 7

On recommence avec les « patates »…

En notant à nouveau $f$ l’application représentée ci-contre et $X,Y$ ses ensembles de départ et d’arrivée :

$f^{-1}\left\langle \left\{ A\right\} \right\rangle =\left\{ a,b\right\}$

$f^{-1}\left\langle \left\{ B,C\right\} \right\rangle =\left\{ c,d\right\}$

$f^{-1}\left\langle \left\{ C\right\} \right\rangle =\emptyset$ .

Exemple 8

Reprenons l’application $g$ de l’exemple $3$ :

$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x^{2}$

et déterminons $g^{-1}\left\langle \left[1,4\right]\right\rangle$ . Par définition :

$g^{-1}\left\langle \left[1,4\right]\right\rangle =\left{ x\in\mathbb{R};\thinspace1\leqslant x^{2}\leqslant4\right} =\left{ x\in\mathbb{R};\thinspace x^{2}\geqslant1\right} \cap\left{ x\in\mathbb{R};\thinspace x^{2}\leqslant4\right}$

Or, d’une part :

$\left{ x\in\mathbb{R};\thinspace x^{2}\geqslant1\right} =\left]-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right[$

et d’autre part :

$\left{ x\in\mathbb{R};\thinspace x^{2}\leqslant4\right} =\left[-2,2\right]$

Ainsi :

$\boxed{g^{-1}\left\langle \left[1,4\right]\right\rangle =\left[-2,-1\right]\cup\left[1,2\right]}$

Cette relation est visualisée avec l’illustration suivante :

Exemple 9

Dans le cours de première année, on démontre que si $E$ , $F$ sont deux $\mathbb{K}$ -espaces vectoriels et si $u:E\rightarrow F$ est linéaire, alors pour tout sous-espace vectoriel (sev) $F'$ de $F$ , l’image réciproque de $F'$ par $u$ est un sous-espace vectoriel de $E$ . Vérifions ensemble cette propriété.

On notera $0_{E}$ et $0_{F}$ les vecteurs nuls respectifs de $E$ et de $F$ .

Il s’agit de prouver d’une part que $0_{E}\in u^{-1}\left\langle F'\right\rangle$ et d’autre part que $u^{-1}\left\langle F'\right\rangle$ est stable par combinaison linéaire.

Tout d’abord, comme $u$ est linéaire, on sait que $u\left(0_{E}\right)=0_{F}$ . Par ailleurs, $F'$ étant un sev de $F$ , on sait aussi que $0_{F}\in F'$ . Il en résulte que :

$\boxed{0_{E}\in u^{-1}\left\langle F'\right\rangle}$

Donnons-nous ensuite des vecteurs $x,y$ dans $u^{-1}\left\langle F'\right\rangle$ et un scalaire $\lambda$ . Afin de prouver que $\lambda x+y\in u^{-1}\left\langle F'\right\rangle$ , on calcule :

$u\left(\lambda x+y\right)=\lambda\thinspace\underbrace{u\left(x\right)}_{\in F'}+\underbrace{u\left(y\right)}_{\in F'}$

et l’on invoque la stabilité de $F'$ par combinaison linéaire. On voit ainsi que $u\left(\lambda x+y\right)\in F'$ , ce qui règle la question.

Notons au passage qu’un cas particulier fondamental est celui où $F'=\left\{ 0_{F}\right\}$ ; dans ce cas, $u^{-1}\left\langle F'\right\rangle$ n’est autre que le noyau de $u$ . C’est ainsi que le noyau de toute application linéaire est un sev de son espace de départ.

5 – Une ambiguïté qui n’en est pas une

Etant donnée une bijection $u:X\rightarrow Y$ , la notation $u^{-1}$ est utilisée pour désigner sa bijection réciproque. Par conséquent, si $B\subset Y$ , une ambiguïté potentielle surgit lorsqu’on écrit $u^{-1}\left\langle B\right\rangle$ .

S’agit-il :

de l’image réciproque de $B$ par $u$ ?
ou bien de l’image directe de $B$ par $u^{-1}$ ?

Qu’on se rassure, cette ambiguïté n’est qu’apparente, car ces deux ensembles sont confondus. Prouvons cela en vérifiant soigneusement la double-inclusion.

Notons $A$ l’image réciproque de $B$ par $u$ : les éléments de $A$ sont, par définition, les éléments $x$ de $X$ vérifiant $u\left(x\right)\in B$ .

Notons $A'$ l’image directe de $B$ par $u^{-1}$ : les éléments de $A'$ sont ceux de la forme $u^{-1}\left(y\right)$ , pour $y$ dans $B$ .

Si $x\in A$ , alors $x=u^{-1}\left(u\left(x\right)\right)\in A'$ . Ceci prouve que $\boxed{A\subset A'}$

Réciproquement, si $x\in A'$ alors il existe $y\in B$ tel que $x=u^{-1}\left(y\right)$ , donc $u\left(x\right)=u\left(u^{-1}\left(y\right)\right)=y$ , ce qui prouve que $u\left(x\right)\in B$ , autrement dit que $x\in A$ . Ceci prouve que $\boxed{A'\subset A}$

La double-inclusion est établie.

Ajoutons pour finir que si $u:X\rightarrow Y$ n’est pas bijective, alors le symbole $u^{-1}$ n’est pas défini ! Mais bien sûr, on peut écrire $u^{-1}\left\langle B\right\rangle$ pour $B\subset Y$ .

6 – Quatre pattes ➡ Un mouton

En combinatoire, on utilise parfois le résultat suivant, connu sous le nom de « lemme des bergers ».

Etant donnés deux ensembles $E,F$ , on suppose que $F$ est fini et qu’il existe une application $u:E\rightarrow F$ dont les fibres ont toutes le même cardinal $k\geqslant1$ .

Alors $E$ est fini et :

$\boxed{\text{card}\left(E\right)=k\thinspace\text{card}\left(F\right)}$

Quant aux « fibres » de $u$ , ce sont (par définition) les images réciproques des singletons. Voici donc une version formalisée du même énoncé :

$\left[\exists k\in\mathbb{N}^{\star};\thinspace\forall y\in F,\thinspace\text{card}\left(u^{-1}\left\langle \left\{ y\right\} \right\rangle \right)=k\right]\Rightarrow\left[\text{card}\left(E\right)=k\thinspace\text{card}\left(F\right)\right]$

Pour le prouver, il suffit de voir que $E$ est l’union des fibres de $u$ . En tant qu’union finie d’ensembles finis, $E$ est fini. De plus, cette union étant disjointe, le cardinal de $E$ est la somme des cardinaux des fibres, d’où la formule annoncée.

L’appellation « lemme des bergers » provient sans doute d’une plaisanterie : on imagine un berger voulant connaître le nombre de moutons de son troupeau… il lui suffit de compter les pattes puis de diviser par 4 l’entier obtenu !

L’illustration ci-dessous représente l’application qui va de l’ensemble des pattes vers celui des moutons et qui, à chaque patte, associe le mouton auquel elle appartient 🙂

Pour cette application, le lemme s’applique avec $k=4$ . On suppose évidemment que les moutons sont en bonne santé et qu’ils n’ont pas été manipulés génétiquement …

Citons un exemple d’utilisation du lemme des bergers :

Proposition

Si $E,F$ sont finis de cardinaux respectifs $p$ et n avec $1\leqslant p\leqslant n$ , alors il existe $n\left(n-1\right)\cdots\left(n-p+1\right)$ injections de $E$ vers $F$ .

On peut prouver cette proposition en raisonnant par récurrence sur le cardinal de $E$ (celui de $F$ étant fixé). Pour $p=1$ , les $n$ applications possibles sont évidemment toutes injectives, ce qui initialise la récurrence. Supposons la propriété établie au rang $p$ , pour un certain $p<n$ , et donnons-nous deux ensembles $E,F$ de cardinaux respectifs $p+1$ et $n$ .

Fixons un élément $x$ de $E$ et considérons l’application

$u:\text{Inj}\left(E,F\right)\rightarrow\text{Inj}\left(E-\left\{ x\right\} ,F\right)$

qui à chaque injection de $E$ vers $F$ associe sa restriction à $E-\left\{ x\right\}$ . Par hypothèse de récurrence, $\text{card}\left(\text{Inj}\left(E-\left\{ x\right\} ,F\right)\right)=n\left(n-1\right)\cdots\left(n-p+1\right)$ .

Comme chaque injection de $E-\left\{ x\right\}$ vers $F$ peut être prolongée de $n-p$ façons en une injection de $E$ vers $F$ (en associant à $x$ l’un quelconque des $n-p$ éléments encore disponibles), on voit que le lemme des bergers s’applique à $u$ et que :

$\text{card}\left(\text{Inj}\left(E,F\right)\right)=\left(n-p\right)\:\text{card}\left(\text{Inj}\left(E-\left\{ x\right\} ,F\right)\right)=n\left(n-1\right)\cdots\left(n-p\right)$

comme souhaité.

7 – Image réciproque d’une image directe

Si $f:X\rightarrow Y$ et $A\subset X$ , alors $f^{-1}\left\langle f\left\langle A\right\rangle \right\rangle \supset A$ . En effet, si $a\in A$ , alors $f\left(a\right)\in f\left\langle A\right\rangle$ (par définition de $f\left\langle A\right\rangle$ ) et donc $a\in f^{-1}\left\langle f\left\langle A\right\rangle \right\rangle$ (par définition de $f^{-1}\left\langle B\right\rangle$ avec $B=f\left\langle A\right\rangle$ ).

Mais cette inclusion est en général stricte. Considérons en effet l’unique application $f:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\left\{ 2\right\}$ et posons $A=\left\{ 0\right\}$ . Alors :

$f^{-1}\left\langle f\left\langle A\right\rangle \right\rangle =f^{-1}\left\langle \left\{ 2\right\} \right\rangle =\left\{ 0,1\right\} \neq A$

Cependant :

Proposition A

Si $f:X\rightarrow Y$ est injective, alors $f^{-1}\left\langle f\left\langle A\right\rangle \right\rangle =A$ , pour toute partie $A$ de $X$ .

En effet, étant donné $A\subset X$ , si $x\in f^{-1}\left\langle f\left\langle A\right\rangle \right\rangle$ , alors $f\left(x\right)\in f\left\langle A\right\rangle$ ce qui signifie qu’il existe $a\in A$ tel que $f\left(x\right)=f\left(a\right)$ . Comme $f$ est injective, alors $x=a$ et donc $f^{-1}\left\langle f\left\langle A\right\rangle \right\rangle \subset A$ . Quant à l’autre inclusion, elle a été établie en toute généralité.

La réciproque de l’implication précédente est vraie :

Proposition réciproque

Si $f:X\rightarrow Y$ est telle que $f^{-1}\left\langle f\left\langle A\right\rangle \right\rangle =A$ pour toute partie $A$ de $X$ , alors $f$ est injective.

En effet, soient $x,x'\in X$ tels que $f\left(x\right)=f\left(x'\right)$ . En choisissant $A=\left{ x\right}$ dans l’hypothèse, on constate que $\left{ x\right} =f^{-1}\left\langle f\left\langle \left{ x\right} \right\rangle \right\rangle =f^{-1}\left\langle \left{ f\left(x\right)\right} \right\rangle$ . Or $x'\in f^{-1}\left\langle \left{ f\left(x\right)\right} \right\rangle$ et donc $x'=x$ .

8 – Image directe d’une image réciproque

Si $f:X\rightarrow Y$ et $B\subset Y$ , alors $f\left\langle f^{-1}\left\langle B\right\rangle \right\rangle \subset B$ . En effet, si $b\in f\left\langle f^{-1}\left\langle B\right\rangle \right\rangle$ , alors (par définition de $f\left\langle A\right\rangle$ avec $A=f^{-1}\left\langle B\right\rangle$ ) il existe $a\in f^{-1}\left\langle B\right\rangle$ tel que $b=f\left(a\right)$ et donc $b\in B$ .

L’inclusion inverse n’est pas vraie en général, comme on le voit en considérant par exemple $f:\left\{ 0\right\} \rightarrow\left\{ 1,2\right\}$ définie par $f\left(0\right)=1$ et $B=\left\{ 1,2\right\}$ . On constate que :

$f\left\langle f^{-1}\left\langle B\right\rangle \right\rangle =f\left\langle \left\{ 0\right\} \right\rangle =\left\{ 1\right\} \neq B$

Cependant :

Proposition B

Si $f:X\rightarrow Y$ est surjective, alors $f\left\langle f^{-1}\left\langle B\right\rangle \right\rangle =B$ pour toute partie $B$ de $Y$ .

En effet, étant donné $B\subset Y$ , si $b\in B$ , alors il existe (par surjectivité de $f$ ) un élément $x\in X$ tel que $f\left(x\right)=b$ . Manifestement $x\in f^{-1}\left\langle B\right\rangle$ et donc $b\in f\left\langle f^{-1}\left\langle B\right\rangle \right\rangle$ .

Réciproquement …

Proposition réciproque

Si $f:X\rightarrow Y$ est telle que $f\left\langle f^{-1}\left\langle B\right\rangle \right\rangle =B$ pour toute partie $B$ de $Y$ , alors $f$ est surjective.

En effet, soit $y\in Y$ . En choisissant $B=\left{ y\right}$ dans l’hypothèse, on voit que $\left{ y\right} =f\left\langle f^{-1}\left\langle \left{ y\right} \right\rangle \right\rangle \subset f\left\langle X\right\rangle$ . Ainsi $y\in f\left\langle X\right\rangle$ ; autrement dit, $y$ admet un antécédent par $f$ .

9 – Image réciproque et topologie

Etant donnés un espace métrique $E$ (par exemple un espace vectoriel normé ou une partie d’un tel espace) ainsi qu’une partie $\Omega$ de $E$ , on a parfois besoin de prouver que $\Omega$ est un ouvert de $E$ . Pour cela, plusieurs méthodes existent. On peut…

appliquer la définition d’un ouvert (c’est-à-dire vérifier, pour chaque $x\in\Omega$ , l’existence d’une boule ouverte de centre $x$ incluse dans $\Omega$ ),
prouver que le complémentaire dans $E$ de $\Omega$ est un fermé, en appliquant par exemple la caractérisation séquentielle des fermés (c’est-à-dire en vérifiant que pour toute suite convergente $\left(x_{n}\right)$ à termes dans le complémentaire $B$ de $\Omega$ , la limite de cette suite appartient encore à $B$ ),
trouver un espace métrique $F$ , un ouvert $W$ de $F$ et une application continue $u:E\rightarrow F$ tels que $\Omega=u^{-1}\left\langle W\right\rangle$ .

Cette troisième méthode repose donc sur le fait que « l’image réciproque d’un ouvert par une application continue est un ouvert ».

Par simple passage au complémentaire, on dispose de l’énoncé jumeau : « l’image réciproque d’un fermé par une application continue est un fermé ».

Ces deux énoncés s’avèrent très utiles en pratique. Donnons-en trois exemples d’utilisation.

Exemple 10 – A

Dans $\mathbb{R}^{2}$ , l’hyperbole d’équation $xy=1$ est un fermé car c’est l’image réciproque du fermé $\left\{ 1\right\}$ de $\mathbb{R}$ par l’application $\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace\left(x,y\right)\mapsto xy$ , qui est continue (puisque polynomiale).

Plus généralement, toute courbe d’équation $f\left(x,y\right)=0$ où $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ est continue, est une partie fermée de $\mathbb{R}^{2}$ .

Ceci montre que les courbes $\Gamma_{a}$ d’équation polaire :

$\rho=e^{a\theta}\qquad\left(a>0\right)$

(connues sous le nom de spirales logarithmiques) ne possèdent pas d’équation de la forme $f\left(x,y\right)=0$ avec $f$ continue. En effet, $\Gamma_{a}$ n’est pas fermée, car l’origine est un point asymptote qui n’appartient pas à la courbe.

Exemple 10 – B

Dans $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ , le groupe $GL_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ des matrices carrées inversibles est un ouvert puisque c’est l’image réciproque de l’ouvert $\mathbb{C}-\left\{ 0\right\}$ de $\mathbb{C}$ par l’application $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)\rightarrow\mathbb{C},\thinspace M\mapsto\det\left(M\right)$ qui est continue (puisque polynomiale, elle aussi).

On peut d’ailleurs montrer, plus précisément, que $GL_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ est un ouvert dense : toute matrice $A\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ est la limite d’une suite de matrices inversibles (il suffit de considérer la suite matricielle de terme général $A_{k}=A+\frac{1}{k}I_{n}$ , pour $k\geqslant1$ ).

Exemple 10 – C

Dans $\mathbb{R}^{2}$ , considérons deux parties $A$ et $B$ , non vides et disjointes (on pourrait, sans rien changer d’essentiel, remplacer dans ce qui suit $\mathbb{R}^{2}$ par un espace métrique quelconque).

Une question classique consiste se demander si l’on peut les séparer, c’est-à-dire s’il existe des ouverts $U$ et $V$ disjoints tels que $A\subset U$ et $B\subset V$ . La réponse est en général négative, mais si $A$ et $B$ sont fermés, elle devient affirmative !

En effet, notons :

➡ $\left\Vert v\right\Vert$ la norme euclidienne d’un vecteur $v\in\mathbb{R}^{2}$ .

➡ $d\left(v,X\right)$ la distance d’un vecteur $v$ à une partie $X$ , définie par :

$d\left(v,X\right)=\inf\left\{ \left\Vert v-x\right\Vert ;\thinspace x\in X\right\}$

Pour tout $X\subset\mathbb{R}^{2}$ , l’application $v\mapsto d\left(v,X\right)$ est continue car $1-$ lipschitzienne.

On sait par ailleurs que $d\left(v,X\right)=0$ si, et seulement si, $x\in\overline{X}$ (l’adhérence de $X$ ). En particulier, si $X$ est fermé dans $\mathbb{R}^{2}$ , alors : $d\left(v,X\right)=0\Leftrightarrow v\in X$ .

Sauriez-vous établir ces points ? Solution en ANNEXE !

$f$ l’application définie sur $\mathbb{R}^{2}$ par :

$\forall v\in\mathbb{R}^{2},\:f\left(v\right)=d\left(v,A\right)-d\left(v,B\right)$

Comme $f$ est continue (différence de deux applications continues), alors les ensembles

$\boxed{U=f^{-1}\left\langle \left]-\infty,0\right[\right\rangle} \qquad\text{et}\qquad \boxed{V=f^{-1}\left\langle \left]0,+\infty\right[\right\rangle}$

sont des ouverts de $\mathbb{R}^{2}$ car chacun est l’image réciproque d’un ouvert de $\mathbb{R}$ . Ils sont évidemment disjoints et de plus :

$A\subset U\qquad\text{et}\qquad B\subset V$

En effet : si $v\in A$ , alors d’une part $d\left(v,A\right)=0$ et, d’autre part, $v\notin B$ d’où $d\left(v,B\right)>0$ puisque $B$ est fermé; ainsi : $f\left(v\right)<0$ . Ceci montre que $A\subset U$ .

On voit de même que $B\subset V$ . On peut donc toujours séparer, dans $\mathbb{R}^{2}$ comme dans n’importe quel espace métrique, deux fermés non vides et disjoints.

Terminons en remarquant que l’image directe d’un ouvert par une application continue n’est pas, en général, un ouvert de l’espace d’arrivée. Par exemple, l’application

$\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\sin\left(x\right)$

transforme l’ouvert $\left]0,\pi\right[$ en $\left]0,1\right]$ , qui n’est pas ouvert.

10 – Annexe

Section 1 – Exemple 3

C’est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires. Considérons en effet un réel $y\geqslant0$ . Comme $\lim_{x\rightarrow+\infty}g\left(x\right)=+\infty$ , il existe $a\in\mathbb{R}$ tel que $g\left(a\right)>y$ . Comme $0$ et $g\left(a\right)$ sont atteints par $g$ , alors tout réel compris entre $0$ et $g\left(a\right)$ est aussi atteint : c’est en particulier le cas de $y$ . Ceci prouve que $\left[0,+\infty\right[\subset g\left\langle \mathbb{R}\right\rangle$ . L’inclusion réciproque étant évidente (le carré de tout nombre réel est positif ou nul), on a l’égalité.
Les variations de $g$ (décroissance sur $\left]-\infty,0\right]$ et croissance sur $\left[0,+\infty\right[$ ) et sa continuité montrent que
$g\left\langle \left[-1,0\right]\right\rangle =\left[g\left(0\right),g\left(-1\right)\right]=\left[0,1\right]$

et que
$g\left\langle \left[0,2\right]\right\rangle =\left[g\left(0\right),g\left(2\right)\right]=\left[0,4\right]$

Par conséquent :
$g\left\langle \left[-1,2\right]\right\rangle =g\left\langle \left[-1,0\right]\cup\left[0,2\right]\right\rangle =g\left\langle \left[-1,0\right]\right\rangle \cup g\left\langle \left[0,2\right]\right\rangle =\left[0,4\right]$

Section 3 – Exemple 6

Après $2,$ $3,$ $7,$ $43,$ $13$ et $53$ le terme suivant est $5$ . En effet :

$1+2\times3\times7\times43\times13\times53=1\thinspace244\thinspace335$

et le plus petit facteur premier de cet entier est d’évidence $5$ . Quant au suivant, il est un peu plus gros… On calcule :

$1+2\times3\times7\times43\times13\times53\times5=6\thinspace221\thinspace671$

qui est premier.

Section 9 – Point numéro 3

Deux propriétés de la distance à une partie

Soient $v,w\in\mathbb{R}^{2}$ . Pour tout $x\in X$ :
$d\left(v,X\right)\leqslant\left\Vert v-x\right\Vert =\left\Vert v-w+w-x\right\Vert \leqslant\left\Vert v-w\right\Vert +\left\Vert w-x\right\Vert$

et donc :
$d\left(v,X\right)-\left\Vert v-w\right\Vert \leqslant\left\Vert w-x\right\Vert$

En passant à la borne inférieure :
$d\left(v,X\right)-\left\Vert v-w\right\Vert \leqslant d\left(w,X\right)$

Autrement dit :
$d\left(v,X\right)-d\left(w,X\right)\leqslant\left\Vert v-w\right\Vert$

Mais $v$ et $w$ jouent ici des rôles symétriques ! On a donc aussi :
$d\left(w,X\right)-d\left(v,X\right)\leqslant\left\Vert v-w\right\Vert$

d’où finalement :
$\boxed{\left|d\left(v,X\right)-d\left(w,X\right)\right|\leqslant\left\Vert v-w\right\Vert}$

Ceci montre que l’application $\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace v\mapsto d\left(v,X\right)$ est $1-$ lipschitzienne, donc continue.
Si $d\left(v,X\right)=0$ alors, d’après la caractérisation séquentielle d’une borne inférieure, il existe une suite $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ d’éléments de $X$ telle que $\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert v-x_{n}\right\Vert =0$ . On voit ainsi que $v$ est adhérent à X. Réciproquement, si $v$ est adhérent à $X$ , alors une telle suite existe et en passant à la limite dans l’encadrement $0\leqslant d\left(v,X\right)\leqslant\left\Vert v-x_{n}\right\Vert$ , on obtient $d\left(v,X\right)=0$ .

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