Exercices sur la récurrence - 01

Exercices sur la récurrence – 01

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:31 juillet 2018
Post category:Exercices

Neuf énoncés d’exercices sur le raisonnement par récurrence (fiche 01).

Montrer par récurrence que $10\times8^{n-1}+3^{3n-1}$ est divisible par $19,$ quel que soit l’entier $n\geqslant1.$

Prouver par récurrence l’inégalité de Bernoulli :

Pour tout entier $n\geqslant2$ et pour tout $x>0$ :

$\left(1+x\right)^{n}>1+nx$

Est-il possible de s’en sortir autrement que par récurrence ?

$F_{n}$ désigne le $n-$ ème nombre de Fibonacci. On rappelle que :

$F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad\forall n\geqslant1,\thinspace F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$

Montrer que, pour tout $n\geqslant11$ :

$F_{n}>\left(\frac{3}{2}\right)^{n}$

Etablir la majoration :

$\forall t>0,\thinspace\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}<e$

En déduire, en raisonnant par récurrence, que :

$\forall n\in\mathbb{N},\:n!\geqslant e^{-n}\left(n+1\right)^{n}$

Soit $n\in\mathbb{N}^{\star}$ et soient $a_{1},\cdots,a_{n}\in\left]0,1\right[.$ Etablir, au moyen d’une récurrence, que :

$\prod_{k=1}^{n}\left(1-a_{k}\right)\geqslant1-\sum_{k=1}^{n}a_{k}$

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N},$ il existe un unique polynôme $Q_{n}$ à coefficients entiers tel que :

$\forall x\in\mathbb{R},\:\sin\left(\left(n+1\right)x\right)=\sin\left(x\right)\thinspace Q_{n}\left(\cos\left(x\right)\right)$

On pose, pour tout $n\geqslant1$ :

$A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}k$

Calculer $A_{n}$ pour $1\leqslant n\leqslant6$ et reporter les résultats dans un tableau.
Démontrer par récurrence la propriété suivante :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace A_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n-1}\left(2n+1\right)+1}{4}$

Vérifier que :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace A_{n}=\left(-1\right)^{n-1}\left\lfloor \frac{n+1}{2}\right\rfloor$

Soit $f:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R}$ de classe $C^{\infty}.$

Montrer que pour tout $n\geqslant1,$ la dérivée $n-$ ème de $g:x\mapsto f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ est donnée par :

$g^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}\left(n-1\right)!\,\sum_{k=1}^{n}\,\frac{\binom{n}{k}}{\left(k-1\right)!\,x^{n+k}}\,f^{\left(k\right)}\left(\frac{1}{x}\right)$

Considérons un entier naturel non nul, par exemple $n=12.$ La liste de ses diviseurs est :

$1,2,3,4,6,12$

Pour chaque diviseur, on compte le nombre de ses diviseurs, ce qui donne la liste :

$1,2,2,3,4,6$

On constate alors que :

$1^{3}+2^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+6^{3}=324=18^{2}=\left(1+2+2+3+4+6\right)^{2}$

Formuler un énoncé général, puis le démontrer.

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Étiquettes : Bernoulli, dérivée n-ème, exercices, Fibonacci, inégalité, Math-OS, MPSI, polynôme de Tchebytchev, produit, récurrence, somme, terminale S

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