Exercices sur les polynômes - 01

Exercices sur les polynômes – 01

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:11 juillet 2021
Post category:Articles Mathématiques / Exercices

Neuf énoncés d’exercices sur les polynômes (fiche 01).

Pour tout entier $n\geqslant2,$ on pose :

$P_{n}=\left(X^{2}+1\right)^{n}-2X^{2n}+\left(X^{2}-1\right)^{n}$

Calculer le degré du polynôme $P_{n}.$

Pour tout entier $n\geqslant1,$ on pose :

$A_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(X-j\right)$

Calculer $A_{n}\left(i\right)$ pour tout $i\in\left\llbracket 1,n\right\rrbracket .$

En déduire la factorisation de $A_{n}$ en produit de facteurs du premier degré.

Montrer, pour tout $Q\in\mathbb{R}\left[X\right],$ l’existence et l’unicité de $P\in\mathbb{R}\left[X\right]$ tel que $P-P'=Q.$

Exprimer $P$ en fonction de $Q.$

Montrer que le polynôme $X^{4}+X^{2}+1$ peut s’écrire comme produit de deux polynômes de degré 2, à coefficients rationnels. Peut-on en dire autant de $X^{4}+1$ ?

Montrer que pour tout entier naturel impair $n,$ il existe un unique polynôme $P_{n}$ tel que :

$\forall x\in\mathbb{R},\:\sin\left(nx\right)=P_{n}\left(\sin\left(x\right)\right)$

On donnera une formule explicite pour $P_n$ . Pourquoi l’hypothèse d’imparité est-elle nécessaire ?

Trouver les $P\in\mathbb{R}\left[X\right]$ tels que :

$\forall x\in\mathbb{R},\thinspace\sin\left(P\left(x\right)\right)=P\left(\sin\left(x\right)\right)$

Soient $a,b,c$ trois nombres réels tels que $a<b<c$ et soit $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ une application deux fois dérivable. Montrer qu’il existe $\theta\in\mathbb{R}$ tel que :

$\frac{f\left(a\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{f\left(b\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{f\left(c\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{2}f''\left(\theta\right)$