Exercices de calcul intégral – 04

Neuf énoncés d’exercices de calcul intégral (fiche 04) : intégrales impropres.

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exercice 1 facile

Déterminer la nature de chacune des six intégrales impropres suivantes :

    \[\begin{array}{ccc}{\displaystyle A=\int_{0}^{1}\frac{\ln\left(t\right)}{t-1}\thinspace dt} & ; & {\displaystyle B=\int_{0}^{+\infty}e^{-\sqrt{t}}\cos\left(t\right)\thinspace dt}\\\\\displaystyle{C=\int_{0}^{1}\frac{e^{t}-e}{\left(1-t\right)^2\sqrt t}\thinspace dt} & ; & {\displaystyle D=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^{3}\left(t\right)}{t}\thinspace dt}\\\\{\displaystyle E=\int_{0}^{+\infty}}\cos\left(t\right)\arctan\left(\frac{1}{t}\right)\thinspace dt & & {\displaystyle F=\int_{-2}^{1}\frac{e^{t+2}-1}{\left(t^{3}+8\right)^{1/3}}\thinspace dt}\end{array}\]

exercice 2 facile

Soit f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R} continue et possédant en +\infty une limite L (finie ou infinie).

Montrer que si l’intégrale impropre {\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f\left(t\right)\thinspace dt} converge, alors L=0.

Attention ! Cette intégrale peut très bien converger sans que f n’admette de limite en +\infty.

Voir à ce sujet l’exercice n° 7 ci-dessous ou bien ici.

exercice 3 facile

Montrer que, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[\int_{0}^{+\infty}t^{n}e^{-t}\thinspace dt=n!\]

On considère, pour a>1, les intégrales impropres (dites « de Bertrand ») :

    \[{\displaystyle \int_{a}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}\ln^{\beta}\left(t\right)}\thinspace dt}\qquad\text{avec }\left(\alpha,\beta\right)\in\mathbb{R}^{2}\]

Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante de convergence est :

    \[\alpha>1\quad\text{ou}\quad\left(\alpha=1\text{ et }\beta>1\right)\]

Ces intégrales doivent être considérées comme des « intégrales de référence ».

On pose, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[I_{n}=\int_{0}^{1}\,\frac{dx}{x^{n}+e^{x}};\qquad J_{n}=\int_{1}^{+\infty}\,\frac{dx}{x^{n}+e^{x}}\]

Calculer {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}} et montrer que {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}J_{n}=0.} Quelle est la nature de la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}J_{n}} ?

Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} et pour tout t\in\left[0,\sqrt{n}\right] :

    \[\left(1-\frac{t^{2}}{n}\right)^{n}\leqslant e^{-t^{2}}\leqslant\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-n}\]

En déduire le calcul de {\displaystyle G=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}\thinspace dt}.

On pourra faire intervenir la suite des intégrales de Wallis (voir par exemple les premières sections de cet article).

Soit \left(a_{n}\right)_{n\geqslant1} une suite décroissante à termes strictement positifs.

On suppose que a_{1}<1 et que la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}a_{n}} converge.

On définit alors une application f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R} de la manière suivante.

Pour tout n\in\mathbb{N}^{\star}, la restriction de f à l’intervalle \left[n-1,n\right[ est définie par les conditions :

  • f\left(n-1\right)=0
  • f\left(n-1+\frac{1}{2}a_{n}\right)=2
  • \forall t\in\left[n-1+a_{n},n\right[,\thinspace f\left(t\right)=0
  • f affine sur \left[n-1,n-1+\frac{1}{2}a_{n}\right]
  • f affine sur \left[n-1+\frac{1}{2}a_{n},n-1+a_{n}\right]

Faire une figure, puis montrer que l’intégrale impropre {\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f\left(t\right)\thinspace dt} converge mais que f n’admet pas de limite en +\infty.

Cet exemple est à comparer avec celui donné dans cet article.

On pose, pour tout x>0 :

    \[\Gamma\left(x\right)=\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\thinspace dt\]

Montrer que \Gamma et \ln\circ\Gamma sont convexes.

Pour la convergence de l’intégrale (doublement impropre) qui définit \Gamma, voir par exemple ici.

exercice 9 difficile

Soit f:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\left]0,+\infty\right[ logarithmiquement convexe (ce qui signifie que \ln\circ f est convexe) et telle que :

    \[\left\{\begin{array}{c}f\left(1\right)=1\\\\\forall x>0,\,f\left(x+1\right)=x\,f\left(x\right)\end{array}\right.\]


Montrer que f=\Gamma (même notation qu’à l’exercice précédent).

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